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Hallo,
ich möchte hier mal ein Beispiel reinstellen, weil darauf meine Fragen basieren.
Es sill hier das Bild und der Kern bestimmt werden, aber ich verstehe nicht ganz die Vorgehensweise. Und vor allem, wie ich im ALlgemeinen bei so einer Aufgabe vorgehen müsste.
Vielleicht kann mir dies ja jemand an diesem Beispiel erläutern:
![[]](/images/popup.gif) [img=http://img207.imageshack.us/img207/3045/kerndh3.th.jpg]
Lieben Dank!
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> Es sill hier das Bild und der Kern bestimmt werden,aber
> ich verstehe nicht ganz die Vorgehensweise.
Hallo,
was Du irgendwie abgeschnitten hast bei Deinem Bildchen, das ist die Definition der Funktion [mm] \varphi:\IR^2 \to \IR^2.
[/mm]
Aber ich weiß trotzdem, wie sie lautet:
[mm] \varphi(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}):=\vektor{x_1\\x_2\\0}.
[/mm]
Beim Kern wird nun gesagt: der Kern ist all das, was auf die Null abgebildet wird, also die [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] für welche [mm] \varphi(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})=\vektor{0\\0\\0} [/mm] ist,
dh. (Funktionsvorschrift einsetzen): [mm] \vektor{x_1\\x_2\\0} =\vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
Daraus folgt natürlich [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=0. [/mm] Für [mm] x_3 [/mm] folgt nix. [mm] x_3 [/mm] ist beliebig, und damit besteht der Kern aus sämtlichen Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{0\\0\\x_3}, x_3\in \IR
[/mm]
Jetzt mache ich Dir mal vor, wie Du das mit Deiner Methode rechnen würdest:
Es ist
[mm] \varphi(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}):=\vektor{x_1\\x_2\\0}.
[/mm]
Also ist die darstellende matrix der Abbildung de matrix A mit
[mm] A:=\pmat{ 1 &0&0 \\ 0 & 1&0\\0 & 0&0 }.
[/mm]
Ich glaube, ich muß nicht weitermachen. Den eine Basis des Kerns berechnen kannst Du doch.
Ob Du nun schreibst, daß [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] eine Basis des Kerns ist oder [mm] \vektor{0\\0\\-1} [/mm] eine basis des Kerns, oder ob Du schreibst, daß der Kern von [mm] \varphi =\{ \vektor{0\\0\\x_3}, x_3\in \IR\} [/mm] ist, ist alles dasselbe.
Und vor allem,
> wie ich im ALlgemeinen bei so einer Aufgabe vorgehen
> müsste.
Mach es so wie immer. Matrix aufstellen, Kern berechnen.
Zum Bild: die stellen fest, daß im Bild sämtliche Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\0}, x_1,x_2\in \IR [/mm] enthalten sind.
Du stellst fest anhand der Matrix, daß [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] eine Basis des Bildes sind. Damit hast Du die Aufgabe voll und ganz gelöst.
Gruß v. Angela
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Danke, das macht jetzt schon alles mehr Sinn!
Nur noch eine Frage zum Bild (ich glaube dazu habe ich bereits einen Thread aufgemacht wohin): Was sagt mir das Bild und wie berechne ich es? Hier war es offensichtlich alles, was nicht der Kern ist. Aber ist das immer so?
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> Nur noch eine Frage zum Bild (ich glaube dazu habe ich
> bereits einen Thread aufgemacht wohin): Was sagt mir das
> Bild und wie berechne ich es? Hier war es offensichtlich
> alles, was nicht der Kern ist. Aber ist das immer so?
hallo,
das Bild umfaßt all die Vektoren, auf die einer abgebildet wird.
Berechnung:
darstellende Matrix aufstellen, auf ZSF bringen, schauen in welchen Spalten die führenden Einsen stehen. Die Vektoren, die beim Start in diesen Spalten standen, bilden eine Basis des Bildes.
Hast Du schon x-mal berechnet. Kannst Du.
Gruß v. Angela
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![[]](http://img207.imageshack.us/my.php?image=kerndh3.jpg){kind=small}
[img=http://img207.imageshack.us/img207/3045/kerndh3.th.jpg]
