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Hallo ihr, bin grad kurz vorm verzweifeln;=)
Eine Freundin hat mich draufhingewiesen, dass in unserem Script ein Fehler war.
Und zwar sind jetzt einige Ungereimtheiten aufgekommen, die ich gerne vor meiner Prüfung geklärt haben möchte,)
Also wir haben bezüglich Bilinearformen folgendes:
1) <,> Bilinearform , dann ist die beschreibende Matrix B in [mm] M_n(K) [/mm] dann invertierbar, wenn <,> nicht degeneriert ist.(also wenn kein w ungleich 0 in V exisitiert, sodass <u,w>=0 für alle u in V.)
2) nicht-degeneriertheit impliziert positiv-definitheit
3) <,> symmetrische Bilinearform, dann existiert eine Orthogonalbasis.
wenn der zugrundeliegende Körper die reelen zahlen sind, dann exisitiert sogar eine orthogonalbasis mit [mm] [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
und wenn jedes Element in K eine Quadratwurzel hat, dann gibt es eine Orthonormalbasis, also [mm] =1.
[/mm]
Für die Voraussetzung für den bei uns definieerten Satz von Sylvester wurde die invertierbarkeit der matrix B vorausgesetzt.
https://matheraum.de/read?t=296705
Und da wird ja gesagt, dass diese Matrix B verwandt zu einer Matrix mit einsen und minuseinsen auf der diagonalen ist. ABER wenn Invertierbarkeit die Voraussetzung ist, dann ist nach voherigen Bedingungen auf jeden Fall keine minus 1 auf der diagonalen, weil eine Orthonormalbasis existiert.
Sehe ich das Richtig? Da ist doch ein Fehler oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 Mi 12.09.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Hallo ihr, bin grad kurz vorm verzweifeln;=)
Aber hoffentlich nur kurz davor ... besser wäre weit entfernt!
> Eine Freundin hat mich draufhingewiesen, dass in unserem
> Script ein Fehler war.
>
> Und zwar sind jetzt einige Ungereimtheiten aufgekommen, die
> ich gerne vor meiner Prüfung geklärt haben möchte,)
>
> Also wir haben bezüglich Bilinearformen folgendes:
>
> 1) <,> Bilinearform , dann ist die beschreibende Matrix B
> in [mm]M_n(K)[/mm] dann invertierbar, wenn <,> nicht degeneriert
> ist.(also wenn kein w ungleich 0 in V exisitiert, sodass
> <u,w>=0 für alle u in V.)
Ja.
> 2) nicht-degeneriertheit impliziert positiv-definitheit
*) Nee, es gibt sogenannte hyperbolische Ebenen mit der Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
> 3) <,> symmetrische Bilinearform, dann existiert eine
> Orthogonalbasis.
Wenn sie nicht-ausgeartet ist.
> wenn der zugrundeliegende Körper die reelen zahlen sind,
> dann exisitiert sogar eine orthogonalbasis mit [mm][/mm] =
> [mm]\pm[/mm] 1
> und wenn jedes Element in K eine Quadratwurzel hat, dann
> gibt es eine Orthonormalbasis, also [mm]=1.[/mm]
>
>
> Für die Voraussetzung für den bei uns definieerten Satz von
> Sylvester wurde die invertierbarkeit der matrix B
> vorausgesetzt.
>
> https://matheraum.de/read?t=296705
>
> Und da wird ja gesagt, dass diese Matrix B verwandt zu
> einer Matrix mit einsen und minuseinsen auf der diagonalen
> ist. ABER wenn Invertierbarkeit die Voraussetzung ist, dann
> ist nach voherigen Bedingungen auf jeden Fall keine minus 1
> auf der diagonalen, weil eine Orthonormalbasis existiert.
>
> Sehe ich das Richtig? Da ist doch ein Fehler oder?
Der Fehler ist wohl bei *)
Grundsätzlich kann man eine symm. Bilinearform bzw. den zugrunde liegenden VR orthogonal zerlegen in einen nicht-ausgearteten Anteil und in einen Anteil, wo sie = 0 ist. Letzterer interessiert dann nicht weiter, man untersucht den ersten Anteil.
Vielleicht kannst du dich in diesem Zusammenhang mit der geometrischen Sprache von ![[]](/images/popup.gif) Witt anfreunden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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