binomische Formel für komplexe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:36 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Chiolo |
Hallo,
es geht um die binomische Formel angewendet auf komplexe Zahlen:
[mm] (a + ib)^n [/mm]
Ich würde die binomische Formel einfach anwenden und bekäme
[mm] \summe_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} ib^k [/mm]
Aber wie komme ich zu der angegebenen Lösung
[mm] \summe_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k {n \choose2k} a^{n-2k} b^{2k} + i \summe_{k=0}^{[(n-1)/2]} (-1)^k {n \choose 2k+1} a^{n-2k-1} b^{2k+1} [/mm] ?
(Mein Problem liegt wohl weniger bei i als am Rechnen mit Binomialkoeffizienten und Summenzeichen... . Oder habe ich die binomische Formel schon falsch angewendet?)
Auch wenn's nicht empfohlen wird: ich bedanke mich trotzdem schon mal im voraus!
Chiolo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chiolo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du hast beim binomischen Lehrsatz ein Klammerpärchen vergessen:
$$(a + [mm] i*b)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}{n \choose k}*a^{n-k}*\red{(}i*b\red{)}^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}{n \choose k}*a^{n-k}*i^{\red{k}}*b^k [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Mi 21.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine binomische Formel ist - mit der Korrektur von Loddar - richtig.
aber du willst ja das Ergebnis wieder in Realteil und Imaginärteil trennen. dazu benutzt du [mm] i^1=i, i^2=-1 i^3=-i i^4=1 [/mm] ab [mm] i^5=i [/mm] wieder von vorn
d.h. bei allen graden Potenzen von b gibts kein i aber es ist abwechseln + und - bei den ungeraden bleibt i, aber auch mit + und -
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Chiolo |
Hallo Loddar, hallo leduart,
vielen Dank für Eure Antworten! (Was so ein Klämmerchen doch ausmacht)
Mit Euren Tips habe ich es gerade tatsächlich geschafft, mir die Lösung herzuleiten. Sehr motivierend!! 
Gruß aus Thüringen!
Chiolo
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