bistochastische Matrix < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Zusammen,
| Aufgabe | | Gegeben sei eine sogenannte bistochastische [mm]n\times n\texttt{-Matrix}[/mm] [mm]P=\left(p_{ij}\right)[/mm] mit [mm]0 |
Nachdem ich einige Beispiele gerechnet habe, denke ich, der Grenzwert existiert und ist eine [mm]n\times n\texttt{-Matrix}[/mm] [mm]G=\left(g_{ij}\right)[/mm] mit [mm]g_{ij}=\tfrac{1}{n}[/mm]. Allerdings habe ich den Beweis dazu bisher nicht geschafft.
Ich habe es zuerst direkt mit der Definition eines Grenzwertes probiert:
Es muss also zu jedem [mm]\epsilon > 0[/mm] ab einem [mm]m(\epsilon)\![/mm] gelten: [mm]\left\|G-P^m\right\|<\epsilon[/mm].
Ich konnte zwar zeigen, daß (*) das Produkt zweier bistochastischer Matrizen [mm]AB[/mm] wieder eine bistochastische Matrix ist ... :
[mm]\begin{pmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_i{a_{1i}b_{i1}}&\dots&\sum_i{a_{1i}b_{in}}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
\sum_i{a_{ni}b_{i1}}&\dots&\sum_i{a_{ni}b_{in}}\end{pmatrix}[/mm]
[mm]\forall j\in\{1,\dotsc,n\}:\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n{a_{ji}b_{ik}}=\sum_{i=1}^n{a_{ji}\sum_{k=1}^n{b_{ik}}}=\sum_{i=1}^n{a_{ji}}=1[/mm]
[mm]\forall \ell\in\{1,\dotsc,n\}:\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n{a_{ki}b_{i\ell}}=\sum_{i=1}^n{b_{i\ell}\sum_{k=1}^n{a_{ki}}}=\sum_{i=1}^n{b_{i\ell}}=1[/mm]
... und damit folgende Umformung durchführen:
[mm]\left\|G-P^m\right\|\le\left\|G\right\|+\left|-1\right|\left\|P^m\right\|=1+1=2,[/mm]
nur nützen tut mir das nichts, weil ich immer ein [mm]0<\epsilon < 2[/mm] nehmen kann für das die Aussage nicht unbedingt gelten muß.
Der andere Versuch war über den Banachschen Fixpunktsatz. Sei also [mm]\mathfrak{B}\ne\emptyset[/mm] die abgeschlossene (- jedenfalls denke ich das -) Menge aller bistochastischer Matrizen, wie in der Definition aus der Aufgabenstellung. Und jetzt definiere ich die Selbstabbildung [mm]f:\mathfrak{B}\to\mathfrak{B},f:X\mapsto XP[/mm] für ein festes [mm]P\in\mathfrak{B}[/mm] (müsste wegen (*) stimmen).
Jetzt gilt es zu zeigen, dass es eine Kontraktion ist. Seien [mm]X,Y\in\mathfrak{B}[/mm] beliebig.
[mm]\left\|XP-YP\right\|=\left\|(X-Y)P\right\|\le\left\|(X-Y)\right\|\left\|P\right\|=\left\|(X-Y)\right\|[/mm].
Damit wäre [mm]L=1\![/mm] und der Banachsche Fixpunktsatz nicht anwendbar.
Hat jemand noch eine Idee, wie man das zeigen könnte?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Do 30.04.2009 | | Autor: | BBFan |
Es geht eingentlich noch viel einfacher.
Zeige, dass die Gleichverteilung bei doppelstochastischen Matrizen ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 bildet, d.h. sie ist stationär. Weiter sollte auch klar sein, dass die Kette gegen eine stationäre Verteilung konvergiert, falls so eine Verteilung existiert. Weiter ist diese Verteilung eindeutig (trivial).
Damit hat man die Gleichverteilung als Grenzwert (was auch einleuchtend ist).
Gruss
BBFan
|
|
|
|
