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Forum "Lineare Abbildungen" - bleibt lineare (un)abhängigkei
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bleibt lineare (un)abhängigkei: ten bei linearen Abb.erhalten?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:28 Mo 11.12.2017
Autor: asg

Aufgabe
Seien $V$  und $W$  Vektorräume über [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] Sei $f : V [mm] \rightarrow [/mm] W$  eine lineare Abbildung. Zeigen oder widerlegen
sie:

a)  Das Bild einer linear unabhängigen Teilmenge von $V$ unter $f$ ist eine linear unabhängige Teilmenge in $W$.
b)  Das Bild einer linear abhängigen Teilmenge von $V$ unter $f$ ist eine linear abhängige Teilmenge in $W$.


Hallo zusammen,

meine Lösungen zu a und b sehen wie folgt aus. Bin mir aber nicht sicher, ob sie ausreichend sind bzw. ob sie formal korrekt sind.

zu a)

Die Aussage ist falsch:
Gegenbeispiel:
Sei $V' = [mm] \{v_1, \cdots, v_n\}$ [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge von $V$ und $f(v) = 0$ mit $v [mm] \in [/mm] V'$ eine lineare Abbildung, die Vektoren $v$ auf die Nullvektoren abbildet.
Da Nullvektoren linear abhängig sind (alle Nullvektoren sind identisch), ist somit das Bild von $V'$ keine linear unabhängig Teilmenge in $W$.

Kann man Nullvektoren denn sagen? Es gibt ja einen Nullvektor. und wenn es nur einen Nullvektor gibt, ist die Teilmenge doch unabhängig, denn es gibt ja in der Teilmenge nur einen Vektor. Da bin ich mir nicht sicher!?!

zu b)

Die Aussage ist richtig:
Sei $V' = [mm] \{v_1, \cdots, v_n\}$ [/mm] eine linear abhängige Teilmenge von $V$. D. h. es gilt:
[mm] $\lambda_1 \cdot v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot v_2 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] \lambda_n \cdot v_n [/mm] = 0$ mit einem [mm] $\lambda_i \not=0$ [/mm] und [mm] $\lambda_i \in \{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \} [/mm] $

Dann gilt wegen Linearität von $f$:
[mm] $f(\lambda_1 \cdot v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot v_2 [/mm] +  [mm] \cdots [/mm] + [mm] \lambda_n \cdot v_n) [/mm] = [mm] f(\lambda_1 \cdot v_1) [/mm] + [mm] f(\lambda_2 \cdot v_2) [/mm] +  [mm] \cdots [/mm] + [mm] f(\lambda_n \cdot v_n)= \lambda_1 \cdot f(v_1) [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot f(v_2) [/mm] +  [mm] \cdots [/mm] + [mm] \lambda_n \cdot f(v_n)$ [/mm]

Lineare Unabhängigkeit vom Bild prüfen:
[mm] $\lambda_1 \cdot f(v_1) [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot f(v_2) [/mm] +  [mm] \cdots [/mm] + [mm] \lambda_n \cdot f(v_n) [/mm] = 0$
Da es ein [mm] $\Lamda_i \not=0$ [/mm] gibt, ist somit auch das Bild von $V'$ unter $f$ eine linear abhängige Teilmenge in $W$. q.e.d.

Ist es so korrekt?

Danke vorab

Viele Grüße
Asg

        
Bezug
bleibt lineare (un)abhängigkei: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:23 Mo 11.12.2017
Autor: fred97


> Seien [mm]V[/mm]  und [mm]W[/mm]  Vektorräume über [mm]\mathbb{R}[/mm]. Sei [mm]f : V \rightarrow W[/mm]
>  eine lineare Abbildung. Zeigen oder widerlegen
>  sie:
>  
> a)  Das Bild einer linear unabhängigen Teilmenge von [mm]V[/mm]
> unter [mm]f[/mm] ist eine linear unabhängige Teilmenge in [mm]W[/mm].
>  b)  Das Bild einer linear abhängigen Teilmenge von [mm]V[/mm]
> unter [mm]f[/mm] ist eine linear abhängige Teilmenge in [mm]W[/mm].
>  
> Hallo zusammen,
>  
> meine Lösungen zu a und b sehen wie folgt aus. Bin mir
> aber nicht sicher, ob sie ausreichend sind bzw. ob sie
> formal korrekt sind.
>  
> zu a)
>  
> Die Aussage ist falsch:
>  Gegenbeispiel:
> Sei [mm]V' = \{v_1, \cdots, v_n\}[/mm] eine linear unabhängige
> Teilmenge von [mm]V[/mm] und [mm]f(v) = 0[/mm] mit [mm]v \in V'[/mm] eine lineare
> Abbildung, die Vektoren [mm]v[/mm] auf die Nullvektoren abbildet.

Ja, z.B. die Nullabbildung


>  Da Nullvektoren linear abhängig sind (alle Nullvektoren
> sind identisch), ist somit das Bild von [mm]V'[/mm] keine linear
> unabhängig Teilmenge in [mm]W[/mm].
>  
> Kann man Nullvektoren denn sagen?

Na, ja.

> Es gibt ja einen
> Nullvektor. und wenn es nur einen Nullvektor gibt, ist die
> Teilmenge doch unabhängig, denn es gibt ja in der
> Teilmenge nur einen Vektor. Da bin ich mir nicht sicher!?!

ja, in W gibt es nur einen Nullvektor.

bei obigem f ist [mm] f(V')=\{0\} [/mm] und [mm] \{0\} [/mm] ist linear abhängig in W.




>  
> zu b)
>  
> Die Aussage ist richtig:
>  Sei [mm]V' = \{v_1, \cdots, v_n\}[/mm] eine linear abhängige
> Teilmenge von [mm]V[/mm]. D. h. es gilt:
>  [mm]\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \cdots + \lambda_n \cdot v_n = 0[/mm]
> mit einem [mm]\lambda_i \not=0[/mm] und [mm]\lambda_i \in \{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \}[/mm]
>  
> Dann gilt wegen Linearität von [mm]f[/mm]:
>  [mm]f(\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \cdots + \lambda_n \cdot v_n) = f(\lambda_1 \cdot v_1) + f(\lambda_2 \cdot v_2) + \cdots + f(\lambda_n \cdot v_n)= \lambda_1 \cdot f(v_1) + \lambda_2 \cdot f(v_2) + \cdots + \lambda_n \cdot f(v_n)[/mm]
>  
> Lineare Unabhängigkeit vom Bild prüfen:
>  [mm]\lambda_1 \cdot f(v_1) + \lambda_2 \cdot f(v_2) + \cdots + \lambda_n \cdot f(v_n) = 0[/mm]
>  
> Da es ein [mm]\Lamda_i \not=0[/mm]


Hier lautet es: [mm]\lambda_i \not=0[/mm]


> gibt, ist somit auch das Bild von
> [mm]V'[/mm] unter [mm]f[/mm] eine linear abhängige Teilmenge in [mm]W[/mm]. q.e.d.
>  
> Ist es so korrekt?

ja.

>  
> Danke vorab
>  
> Viele Grüße
>  Asg


Bezug
                
Bezug
bleibt lineare (un)abhängigkei: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Mi 13.12.2017
Autor: asg

Hallo,

danke für die kurzfristige Antwort.

> > zu a)
>  >  
> > Die Aussage ist falsch:
>  >  Gegenbeispiel:
> > Sei [mm]V' = \{v_1, \cdots, v_n\}[/mm] eine linear unabhängige
> > Teilmenge von [mm]V[/mm] und [mm]f(v) = 0[/mm] mit [mm]v \in V'[/mm] eine lineare
> > Abbildung, die Vektoren [mm]v[/mm] auf die Nullvektoren abbildet.
>  
> Ja, z.B. die Nullabbildung
>  

Was meinst du mit "z.B."? Ist [mm]f(v) = 0[/mm] nicht gerade die Nullabbildung? Gibt es auch andere Nullabbildungen?

> >  Da Nullvektoren linear abhängig sind (alle Nullvektoren

> > sind identisch), ist somit das Bild von [mm]V'[/mm] keine linear
> > unabhängig Teilmenge in [mm]W[/mm].
>  >  
> > Kann man Nullvektoren denn sagen?
>
> Na, ja.
>  
> > Es gibt ja einen
> > Nullvektor. und wenn es nur einen Nullvektor gibt, ist die
> > Teilmenge doch unabhängig, denn es gibt ja in der
> > Teilmenge nur einen Vektor. Da bin ich mir nicht sicher!?!
>  
> ja, in W gibt es nur einen Nullvektor.
>  

Wie meinst du es mit "... in W ..."? Gibt es in anderen Vektorräumen mehr als einen Nullvektor?

> bei obigem f ist [mm]f(V')=\{0\}[/mm] und [mm]\{0\}[/mm] ist linear abhängig
> in W.
>  

Viele Grüße
Asg


Bezug
                        
Bezug
bleibt lineare (un)abhängigkei: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Mi 13.12.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo!

> > > zu a)
> > >
> > > Die Aussage ist falsch:
> > > Gegenbeispiel:
> > > Sei [mm]V' = \{v_1, \cdots, v_n\}[/mm] eine linear unabhängige
> > > Teilmenge von [mm]V[/mm] und [mm]f(v) = 0[/mm] mit [mm]v \in V'[/mm] eine lineare
> > > Abbildung, die Vektoren [mm]v[/mm] auf die Nullvektoren abbildet.
> >
> > Ja, z.B. die Nullabbildung
> >
> Was meinst du mit "z.B."? Ist [mm]f(v) = 0[/mm] nicht gerade die
> Nullabbildung?

Nicht unbedingt.

Nehmen wir [mm] V=\IR^3 [/mm] und [mm] V'=\{\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}\} [/mm]

Dann bildet die lineare Abbildung mit [mm] f(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{0\\0\\3z} [/mm] alle Vektoren aus V' auf den Nullvektor ab, ist jedoch nicht die Nullabbildung.


>Gibt es auch andere Nullabbildungen?
>

> > > Da Nullvektoren linear abhängig sind (alle Nullvektoren
> > > sind identisch), ist somit das Bild von [mm]V'[/mm] keine linear
> > > unabhängig Teilmenge in [mm]W[/mm].
> > >
> > > Kann man Nullvektoren denn sagen?
> >
> > Na, ja.
> >
> > > Es gibt ja einen
> > > Nullvektor. und wenn es nur einen Nullvektor gibt, ist die
> > > Teilmenge doch unabhängig, denn es gibt ja in der
> > > Teilmenge nur einen Vektor. Da bin ich mir nicht sicher!?!
> >
> > ja, in W gibt es nur einen Nullvektor.
> >
> Wie meinst du es mit "... in W ..."? Gibt es in anderen
> Vektorräumen mehr als einen Nullvektor?

In jedem Vektorraum gibt es genau einen Nullvektor, und [mm] \{0\} [/mm] ist immer linear abhängig.

LG Angela
>

> > bei obigem f ist [mm]f(V')=\{0\}[/mm] und [mm]\{0\}[/mm] ist linear abhängig
> > in W.
> >

>

> Viele Grüße
> Asg

>

Bezug
                                
Bezug
bleibt lineare (un)abhängigkei: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:13 Do 14.12.2017
Autor: asg

Hallo Angela,

Dankeschön für die Klarstellung.

>  > Was meinst du mit "z.B."? Ist [mm]f(v) = 0[/mm] nicht gerade die

>  > Nullabbildung?

>  
> Nicht unbedingt.
>  
> Nehmen wir [mm]V=\IR^3[/mm] und [mm]V'=\{\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}\}[/mm]
>  
> Dann bildet die lineare Abbildung mit
> [mm]f(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{0\\0\\3z}[/mm] alle Vektoren aus V'
> auf den Nullvektor ab, ist jedoch nicht die Nullabbildung.
>  

Damit ich sicher bin, dass ich es richtig verstehe: Nullabbildung heißt also, dass die Abbildung alle Elemente vom Definitionsbereich auf die konstante $0$ abbildet, also [mm] $x\mapsto [/mm] 0$.
Da wir aber in deinem obigen Beispiel $3z$ als dritte Komponente haben, ist die Abbildung keine Nullabbildung. [mm]\vektor{0\\0\\3z}[/mm]
[mm]f(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{0\\0\\0}[/mm] wäre wiederum die Nullabbildung für ganz [mm] $\IR^3$. [/mm]

Habe ich es richtig verstanden?

> In jedem Vektorraum gibt es genau einen Nullvektor, und
> [mm]\{0\}[/mm] ist immer linear abhängig.

Das kann ich nachvollziehen.

Danke nochmals :)

Liebe Grüße

Asg

Bezug
                                        
Bezug
bleibt lineare (un)abhängigkei: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:55 Do 14.12.2017
Autor: fred97


> Hallo Angela,
>  
> Dankeschön für die Klarstellung.
>  
> >  > Was meinst du mit "z.B."? Ist [mm]f(v) = 0[/mm] nicht gerade die

>  >  > Nullabbildung?

>  >  
> > Nicht unbedingt.
>  >  
> > Nehmen wir [mm]V=\IR^3[/mm] und [mm]V'=\{\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}\}[/mm]
>  
> >  

> > Dann bildet die lineare Abbildung mit
> > [mm]f(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{0\\0\\3z}[/mm] alle Vektoren aus V'
> > auf den Nullvektor ab, ist jedoch nicht die Nullabbildung.
>  >  
> Damit ich sicher bin, dass ich es richtig verstehe:
> Nullabbildung heißt also, dass die Abbildung alle Elemente
> vom Definitionsbereich auf die konstante [mm]0[/mm] abbildet, also
> [mm]x\mapsto 0[/mm].
>  Da wir aber in deinem obigen Beispiel [mm]3z[/mm] als
> dritte Komponente haben, ist die Abbildung keine
> Nullabbildung. [mm]\vektor{0\\0\\3z}[/mm]
>  [mm]f(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{0\\0\\0}[/mm] wäre wiederum die
> Nullabbildung für ganz [mm]\IR^3[/mm].
>  
> Habe ich es richtig verstanden?

Das hast Du.




>  
> > In jedem Vektorraum gibt es genau einen Nullvektor, und
> > [mm]\{0\}[/mm] ist immer linear abhängig.
>  
> Das kann ich nachvollziehen.
>  
> Danke nochmals :)
>  
> Liebe Grüße
>  
> Asg


Bezug
                                                
Bezug
bleibt lineare (un)abhängigkei: Danke! [GELÖST]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 Do 14.12.2017
Autor: asg

Hallo zusammen,

alles klar, Dankeschön für die nochmalige Bestätigung.
Ihr wart mir große Hilfe.

Liebe Grüße

Asg

Bezug
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