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| Aufgabe | Die Cauchy-Riemann-Gleichungen lauten in Polardarstellung [mm] (z=r*exp(i*\phi)):
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial r}=\bruch{1}{r}\bruch{\partial v}{\partial \phi}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v}{\partial r}=-\bruch{1}{r}\bruch{\partial u}{\partial \phi}
[/mm]
Leiten Sie diese mithilfe der normalen Cauchy-Riemann-Gleichungen her. |
Die normalen lauten ja [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] und [mm] \bruch{\partial v}{\partial x}=-\bruch{\partial u}{\partial y}.
[/mm]
Aber wie nutz ich die nun? Brauch ich irgendwie, dass [mm] z=r*exp(i*\phi)=r*cos(\phi)+r*i*sin(\phi) [/mm] ?
Als Tipp gibt es: [mm] \bruch{\partial u}{\partial r}=\bruch{\partial u}{\partial x}\bruch{\partial x}{\partial r}+\bruch{\partial u}{\partial y}\bruch{\partial y}{\partial r} [/mm] etc.
Aber ich bin mir nicht mal darüber im klarem, warum diese Gleichung stimmt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mo 19.04.2010 | | Autor: | gfm |
Kettenregel der Differentialrechnung!
Wenn [mm] f:\IR^n\to\IR^m [/mm] und [mm] \overline{T}:\IR^n\to\IR^n [/mm] sowie
[mm]\overline{f}:=f\circ \overline{T}[/mm]
dann ist
[mm]D(\overline{f})=D(f)\circ D(\overline{T})[/mm]
wobei D die Bildung der entsprechenden Jakobi-Matrix bezeichnet. In Gleichungsform und mit Variablen bedeutet das Folgendes:
Sei [mm]q=f(p)[/mm], also [mm]q^i=f^{q^i}(p^1,...,p^n)[/mm] mit [mm] i=1,...m[/mm] und
[mm]q=\overline{f}(\overline{p}):=f(p)|_{p=\overline{T}(\overline{p})}[/mm]
sowie
[mm]p=\overline{T}(\overline{p})[/mm] , also [mm]p^i=\overline{T}^{p^i}(\overline{p}^1,...,\overline{p}^n)[/mm]
Eine Größe mit Überstrich ist immer in den Variablen mit Überstrich gegeben.
Eine Interpretation könnte sein, dass eine Größe q gegeben ist die von einem gewissen Varibalensatz p abhängt. Nun hat man einen zweiten äquvalenten Variablensatz [mm] \overline{p}, [/mm] der mit den p über eine Transformation [mm] \overline{T} [/mm] zusammenhängt. Unter bestimmten Voraussetzungen kann man dann die Werte der Ableitungen in den neuen Variablen durch die in den alten ausdrücken:
[mm] \frac{\partial{q^i}}{\partial{\overline{p}^j}}=\frac{\partial{\overline{f}^{q^i}}}{\partial{\overline{p}^j}}=\frac{\partial{(f^{q^i}(p)|_{p=T(\overline{p})}})}{\partial{\overline{p}^j}}=\summe^n_{k=1}\frac{\partial{f^{q^i}}}{\partial{p^k}}\Big|_{p=\overline{T}(\overline{p})}\frac{\partial{\overline{T}^{p^k}}}{\partial{\overline{p}^j}}=\summe^n_{k=1}\overline{\frac{\partial{q^i}}{\partial{p^k}}}\frac{\partial{p^k}}{\partial{\overline{p}^j}}
[/mm]
Der vorletzte Überstrich soll das Einsetzen der neuen Variablen mittels [mm] \overline{T} [/mm] bedeuten. Gerade in physikalischen Texten wird vom Leser erwartet, dass er weiß, welche Variablen gerade wo verwendet werden und dass klar ist, dass die formelmäßige Gestalt einer Größe q sich bei Transformation ändert kann, aber man trotzdem dasselbe Symbol verwendet. Außerdem wird (oft stillschweigend) vorrausgesetzt, dass es zu keinen Verwirrungen kommt, wenn man für Funktions- und variablennamen dasselbe Smybol verwedet. Dann lautet die Kettenregel so:
[mm] \frac{\partial{q^i}}{\partial{\overline{p}^j}}=\summe^n_{k=1}\frac{\partial{q^i}}{\partial{p^k}}\frac{\partial{p^k}}{\partial{\overline{p}^j}}
[/mm]
Wenn Du dass nun für Dein Beispiel sauber aufschreibst und die alten C-R-Gleichungen ausnutzt ergeben sich bestimmt die in Polarform:
[mm] x=\overline{T}^x(r,\phi)=r\cos(\phi)
[/mm]
[mm] y=\overline{T}^y(r,\phi)=r\sin(\phi)
[/mm]
[mm] u=f^u(x,y)|_{(x,y)=\overline{T}(r,\phi)}=\overline{f}^u(r,\phi)
[/mm]
[mm] v=f^v(x,y)|_{(x,y)=\overline{T}(r,\phi)}=\overline{f}^v(r,\phi)
[/mm]
...
LG
gfm
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