cauchyintegral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Phecda |
hallo ich soll hier mit der chauchy'schen integralformel berechnen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{exp(1-z)}{z^3(1-z)} dz}
[/mm]
über |z| = 1/2
ich bin mir nicht sicher aber ich habe also f im zähler alles auser 1-z aufgefasst und bekomm dann -2pi*i
aber ich wieß nicht ob das so rihctig ist, weil ich ja im ursprung einen pol habe und die fkt ja nicht holomorph im ursprung ist
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Huhu,
wenn du über $|z| = [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] integrieren sollst, ist doch gerade das z das relevante Glied, da (1-z) doch gar nicht im Integrationsgebiet liegt.
D.h. du solltest eher ausrechnen:
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{exp(1-z)}{z^3(1-z)} dz} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z^3}\bruch{exp(1-z)}{(1-z)} dz} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z^3}f(z) dz} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{f(z)}{z^3} dz} [/mm] $.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Phecda |
hi du hast gesagt,
dass gerade [mm] 1/z^3 [/mm] der relevante anteil ist... kannst du das konkretisieren oder generalisieren?
wenn ich so ein integral vor mir habe, dann versuch ich immer den anteil zu betrachten der seine singularität im kreisinneren hat?
vielen dank schon mal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Phecda |
hi
hab noch so ein integral wo ich nicht weiterkomme
[mm] \integral_{}^{}{1/(z^2+\pi^2) dz}
[/mm]
über |z+2i| = 3
wenn im nenner ein minus stehen würde, dann könnte man doch mit bin. formel dsa irgendwie aufteilen... aber so?
ich glaub ich muss partialbruchzerlegung lernen?
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Huhu,
> wenn im nenner ein minus stehen würde, dann könnte man
> doch mit bin. formel dsa irgendwie aufteilen... aber so?
Dann mach dir doch einfach ein Minus da rein, schließlich sind wir im Komplexen.
Dort gilt doch:
[mm] $(z^2 [/mm] + [mm] \pi^2) [/mm] = [mm] (z^2 [/mm] - [mm] (-\pi^2)) [/mm] = [mm] (z^2 [/mm] - [mm] i^2\pi^2) [/mm] = [mm] (z^2 [/mm] - [mm] (i\pi)^2)$
[/mm]
> ich glaub ich muss partialbruchzerlegung lernen?
Das solltest du sowieso, ja 
Hier brauchst du sie aber nicht, weil nur eine deiner Singularitäten im Kreisinnern liegen, welche?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Di 13.07.2010 | | Autor: | Phecda |
hi
ja die [mm] -i*\pi [/mm] liegt im kreis.
aber mein problem ist, dass ich nicht erkenne wie man die cauchyintegralformel benutzt weil der nenner ja nicht die form hat wie in der integralformel....
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Huhu,
natürlich hat der Nenner auch hier diese Form.
Es gilt doch:
$ [mm] \integral_{|z+2i|=3}{\bruch{1}{(z^2+\pi^2)} dz} [/mm] = [mm] \integral_{|z+2i|=3}{\bruch{1}{(z + i\pi)(z - i\pi)} dz}= \integral_{|z+2i|=3}{\bruch{1}{(z - (-i\pi))(z - i\pi)} dz} [/mm] = [mm] \integral_{|z+2i|=3}{\bruch{1}{(z - (-i\pi))}*\bruch{1}{(z - i\pi)} dz} [/mm] = [mm] \integral_{|z+2i|=3}{\bruch{1}{(z - (-i\pi))}*f(z) dz}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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Huhu,
> wenn ich so ein integral vor mir habe, dann versuch ich
> immer den anteil zu betrachten der seine singularität im
> kreisinneren hat?
genau.
Würde keine Singularität vorliegen, wäre die Funktion ja auf dem gesamten Definitionsbereich holomorph und damit wäre das Integral über einen geschlossenen Weg was?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Di 13.07.2010 | | Autor: | Phecda |
also man integriert immer nur mit cauchy wenn man singularitäten im kreisinneren hat?
was ist dann der zusammenhang zum residuensatz? ich dachte damit berechne ich die integrale mit singularitäten...
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> also man integriert immer nur mit cauchy wenn man
> singularitäten im kreisinneren hat?
Ja, denn du hast die Frage ja auch nicht beantwortet.
Was wäre denn, wenn der Integrant auf dem gesamten Integrationsgebiet holomorph wäre? Dann wäre das Integral darüber was?
> was ist dann der zusammenhang zum residuensatz? ich dachte
> damit berechne ich die integrale mit singularitäten...
Jop, ebenso. Da kommt sogar das gleiche raus (was man im übrigen auch beweisen kann).
MFG,
Gono.
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