charakeristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Sa 28.04.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Sei A eine hermitesche Matrix.
Zeigen Sie, dass das charakteristische Polylom [mm] p_A(x) \in \IR[x] [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. Komme da leider nicht weit.
Ich muss doch eigentlich zeigen, dass die eigenwerte von A reell sind oder?
Somit wäre doch das charak. Polynom [mm] \in \IR[x]...
[/mm]
stimmt das so oder muss ich das anders machen....
bräuchte dringend einen Ansatz wie ich das zeigen kann.
Vielen lieben Dank im Voraus, die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei A eine hermitesche Matrix.
> Zeigen Sie, dass das charakteristische Polylom [mm]p_A(x) \in \IR[x][/mm]
> ist.
> Hallo zusammen,
>
> kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. Komme da leider
> nicht weit.
>
> Ich muss doch eigentlich zeigen, dass die eigenwerte von A
> reell sind oder?
> Somit wäre doch das charak. Polynom [mm]\in \IR[x]...[/mm]
Genau, so musst du vorgehen.
> bräuchte dringend einen Ansatz wie ich das zeigen kann.
Sei [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert und $v$ ein Eigenvektor zu diesem. Berechne einmal [mm] $\langle [/mm] A v, v [mm] \rangle$ [/mm] und einmal [mm] $\langle [/mm] v, A v [mm] \rangle$. [/mm] Was ist der Zusammenhang zwischen diesen beiden (da $A$ hermitesch ist)?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 28.04.2007 | | Autor: | kittie |
hallo felix,
vielen dank für deine Antwort:
> Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert und [mm]v[/mm] ein Eigenvektor zu diesem.
> Berechne einmal [mm]\langle A v, v \rangle[/mm] und einmal [mm]\langle v, A v \rangle[/mm].
> Was ist der Zusammenhang zwischen diesen beiden (da [mm]A[/mm]
> hermitesch ist)?
kenne den zusammenhang nicht, weiß nur dass für eine hermitesche MAtrix A gitl: [mm] A=(\overline{A})^t
[/mm]
und was ist <,> für eine Form? Ein Skalarprodukt?Wenn ja woher weiß ich das, das steht ja nicht in der Aufgabe...
Kannst du mir nochmal helfen?
grüße, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Kittie,
Du mußt nicht unbedingt zeigen, dass die Eigenwerte reell sind. Es genügt, zu zeigen, dass
[mm] p_A(T)=\overline{p_A(T)}
[/mm]
gilt, wobei der Querstrich komplexe Konjugation bedeutet, d.h. alle Kooefizienten des charPolynoms werden komplex konjugiert. Du könntest so anfangen:
[mm] \overline{p_A(T)}=\overline{\det(A-T)}=\det(\overline{A}-T)=...
[/mm]
und dann benutzen, dass [mm] \overline{A}^t=A [/mm] gilt.
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Sa 28.04.2007 | | Autor: | kittie |
hallo,
> [mm]p_A(T)=\overline{p_A(T)}[/mm]
>
> gilt, wobei der Querstrich komplexe Konjugation bedeutet,
> d.h. alle Kooefizienten des charPolynoms werden komplex
> konjugiert. Du könntest so anfangen:
>
> [mm]\overline{p_A(T)}=\overline{\det(A-T)}=\det(\overline{A}-T)=...[/mm]
>
> und dann benutzen, dass [mm]\overline{A}^t=A[/mm] gilt.
Mit diesem Ansatz komme ich leider garnicht zurecht...
der erste Weg wäre mir lieber....
Kannst du mir denn da vielleicht weiterhelfen?
Vg, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ich habe mehr Lust, meinen Ansatz zu erklären, der eigentlich gar nicht so kompliziert ist.
Weiter geht es bei den Pünktchen mit
[mm] ...=\det(\overline{A}^t-T)=\det(A-T)=p_A(T)
[/mm]
und fertig. Ich habe [mm] \det(B)=\det(B^t) [/mm] benutzt. Du mußt Dir ggf noch klarmachen, dass ein Polynom [mm] p(T)\in\IC[T] [/mm] genau dann in [mm] \IR[T] [/mm] liegt, falls [mm] \overline{p(T)}=p(T) [/mm] gilt, was nicht schwer ist. Die Sache mit den Eigenvektoren ist auch nicht kompliziert, aber man muss dann wissen, dass sich die Matrix diagonalisieren läßt, was ja nicht ganz einfach zu zeigen ist.
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Sa 28.04.2007 | | Autor: | kittie |
alles klar, volker, habs verstanden...danke!!
aber wenn ich das über die eigenwerte beweisen würde, müsste ich doch nicht zeigen, dass die matrix digonalisierbar ist, ich will doch nur zeigen dass das charak. polynom [mm] \in \IR[x] [/mm] ist. dabei ist es doch irrelevant ob geometrische Vielfacheit=algebraischer Vielfachheit ist...oder nicht?
vg, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Kittie,
> aber wenn ich das über die eigenwerte beweisen würde,
> müsste ich doch nicht zeigen, dass die matrix
> digonalisierbar ist, ich will doch nur zeigen dass das
> charak. polynom [mm]\in \IR[x][/mm] ist. dabei ist es doch
> irrelevant ob geometrische Vielfacheit=algebraischer
> Vielfachheit ist...oder nicht?
da hast Du natürlich recht, man muß bei der anderen Methode auch nicht so fürchterlich viel wissen. Bei dem, was ich vorgeschlagen habe, muß man aber rein gar nichts wissen außer der Definition des char. Polynoms.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Volker
> Die Sache mit den Eigenvektoren ist auch
> nicht kompliziert, aber man muss dann wissen, dass sich die
> Matrix diagonalisieren läßt, was ja nicht ganz einfach zu
> zeigen ist.
Muss man gar nicht wissen. Man weiss ja, dass [mm] $p_A(x) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] \lambda_i)$ [/mm] ist fuer komplexe Zahlen [mm] $\lambda_i \in \IC$ [/mm] (die Eigenwerte), und man zeigt das die bereits alle in [mm] $\IR$ [/mm] liegen. Aber damit ist [mm] $p_A(x) \in \IR[x]$, [/mm] und man ist fertig.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Sa 28.04.2007 | | Autor: | kittie |
hallo,
habe jetzt den ansatz von Volker mal durchgerechnet bzw. bewiesen. Möchte aber gerne auch deinen Ansatz verstehen, und wie ich da mit der hermiteschen Matrix arbeiten muss...
Wäre prima, wenn du dich meldest...
vg, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Kittie!
> habe jetzt den ansatz von Volker mal durchgerechnet bzw.
> bewiesen. Möchte aber gerne auch deinen Ansatz verstehen,
> und wie ich da mit der hermiteschen Matrix arbeiten
> muss...
Das [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle$ [/mm] war bei mir das Standardskalarprodukt des [mm] $\IC^n$: [/mm] das ist durch [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] := [mm] v^T \overline{w}$ [/mm] definiert.
Und wenn die Matrix hermitesch ist, heisst das gerade, dass fuer alle $v, w [mm] \in \IC^n$ [/mm] die Gleichung [mm] $\langle [/mm] A v, w [mm] \rangle [/mm] = (A [mm] v)^T \overline{w} [/mm] = [mm] v^T A^T \overline{w} [/mm] = [mm] v^T \overline{A w} [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, A w [mm] \rangle$ [/mm] gilt (da [mm] $A^T [/mm] = [mm] \overline{A}$ [/mm] ist fuer hermitesche Matrizen).
Wenn du jetzt die Sesquilinearitaet von [mm] $\langle \bullet, \bullet \rangle$ [/mm] benutzt (das Skalarprodukt ist linear in der ersten Komponente, und antilinear in der zweiten, d.h. Skalare werden komplex konjugiert hinausgezogen), erhaelst du [mm] $\lambda \langle [/mm] v, v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \lambda [/mm] v, v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] A v, v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, A v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, [mm] \lambda [/mm] v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \overline{\lambda} \langle [/mm] v, v [mm] \rangle$.
[/mm]
Wenn du jetzt ausnutzt, dass [mm] $\langle [/mm] v, v [mm] \rangle \neq [/mm] 0$ ist fuer $v [mm] \neq [/mm] 0$ (das kannst du direkt nachrechnen, wenn du $v = [mm] (v_1, \dots, v_n)^T$ [/mm] schreibst mit [mm] $v_1, \dots, v_n \in \IC$), [/mm] bekommst du [mm] $\overline{\lambda} [/mm] = [mm] \lambda$, [/mm] also [mm] $\lambda \in \IR$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 29.04.2007 | | Autor: | kittie |
hallo felix,
danke für deinen post, hab alles super gut verstanden, und es ist auch in sich schlüssig...
aber eine frage habe ich dann doch noch:
Warum benutzt du hier einfach das Standardskalarprodukt. In der aufgabe ist doch davon garnicht die Rede...??
Ok dass dann daraufhin <v,v> >0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V - {0} ist folgt aus aus der positiven Definitheit der Bilinearform.
Aber warum kann ich einfach das standard-hermitesche Skalarprdukt hier verwenden??
Wäre prima, wenn du mir das noch erklären könntest.
vg, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Kittie!
> danke für deinen post, hab alles super gut verstanden, und
> es ist auch in sich schlüssig...
>
> aber eine frage habe ich dann doch noch:
>
> Warum benutzt du hier einfach das Standardskalarprodukt. In
> der aufgabe ist doch davon garnicht die Rede...??
Das stimmt. Ich benutze es, weil hermitesche Matrizen deswegen hermitesch heissen, weil fuer sie gerade [mm] $\langle [/mm] A v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, A w [mm] \rangle$ [/mm] fuer alle $v, w [mm] \in \IC^n$ [/mm] gilt. Und weil die Methode mit dem Skalarprodukt (meines Wissens) die Standardbeweismethode fuer diese Aussage ist. Das weiss man natuerlich erst wenn man das ganze schonmal gesehen hat... :)
> Ok dass dann daraufhin <v,v> >0 [mm]\forall v \in V - \{0\}[/mm] ist
> folgt aus aus der positiven Definitheit der Bilinearform.
Ja, wenn ihr das schon gezeigt habt fuer das die komplexe (hermitesche) Standard-Skalarprodukt.
LG Felix
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