charakter. Polynom 5x5-Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Di 16.05.2006 | | Autor: | Scholli |
| Aufgabe | | Das charakteristische Polynom der Matrix [mm] A= \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 &4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right) \in M_5( \IZ_5) [/mm] zerfällt schon über [mm]\IZ_5 [/mm] in Linearfaktoren und besitzt insgesamt nur zwei verschiedene Nullstellen [mm] \lambda_1 , \lambda_2 \in \IZ_5 [/mm]. Man berechne diese beiden Eigenwerte von A [und tue noch einige andere Sachen...] |
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Hallo zusammen!
Die Nullstellen kriegt man ja über das charakteristische Polynom, also über [mm] det( \lambda E - A) = \left| \begin{array}{ccccc} \lambda & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & \lambda & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & \lambda +3 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & \lambda & 3 \\ 0 & 2 & 3 & 2 & \lambda +1 \end{array} \right| [/mm].
Jetzt kann man dreimal den Laplaceschen Entwicklungssatz anwenden, was insgesamt einiges an Rechnerei ist. Mit dem Gauß-Algorithmus gehts ja irgendwie nicht wegen den Lambdas...
Kann man die Determinante noch irgendwie anders ausrechnen, oder muss ich das per Laplace machen?
Dankeschön! scholli
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Hallo,
nein du kommst da nicht drumherum. Das einzige was man probieren kann ist, die Martix in eine untere oder obere Dreiecksmatrix zu transfomieren (beachte dabei aber, dass durch bestimmt Zeilen bzw. Spaltenumformungen die Determinante verändert werden kann). Dann ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge. Ansonsten leider nicht.
Grüße Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:30 Do 18.05.2006 | | Autor: | Scholli |
Hey naklar, ich Esel wollte die Matrix auf untere Dreiecksgestalt bringen was nicht so richtig ging, aber eine obere zu machen geht ja locker, hatte ich gar nicht aufm Schirm. Danke!
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