charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Fragen stellen sich mir in Bezug auf das charakteristische Polynom:
Wenn das Polynom einer nxn Matrix n Nullstellen hat, ist es dann immer Möglich eine Darstellung in Form von Linearfaktoren zu finden Also sowas wie (x-3)(x+2)(x+1) im Fall n=3? oder kann es vorkommen, dass die Darstellung noch weitere Summanden enthält z.B. (x-3)(x+2)(x+1)+2x-14 oder so? Und wie finde ich die Darstellung der Linearfaktoren - oft habe ich ein Beispiel wie z.B. -x³+10x²-31x+30. Wie kann ich daraus auf die Linearfaktoren schließen.
Wie finde ich überhaupt die Nullstellen. Manchmal sieht man eine und kann dann eine Polynomdivision machen. Das klappt ganz gut, aber klappt das immer wenn ich eine Nullstelle habe oder geht die Polynomdivision manchmal nicht auf?
Noch eine weitere Frage habe ich, die nur entfernt damit zusammen hängt - habe mal gelesen, das eine lin. Abb. genau dann bijektiv ist, wenn die zugehörige Determinante ungleich 0 ist, also vollen Rang hat - stimmt das?
Würde mich riesig freuen, wenn jemand mit ein paar von den Sachen helfen kann.
Liebe Grüße,
Klaus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Do 09.06.2005 | | Autor: | Becci |
>> Wenn das char. Polynom einer nxn Matrix n Nullstellen hat, ist es dann
>> immer Möglich, eine Darstellung in Form von Linearfaktoren zu finden
>> Also sowas wie (x-3)(x+2)(x+1) im Fall n=3?
Denke Ja. Das Polynom einer nxn-Matrix hat Grad n.
Wenn es nun auch n Nullstellen hat, dann zerfällt es in Linearfaktoren:
Jede der n Nullstellen lässt sich in der von dir beschriebenen Form rausmultiplizieren => Polynom sieht (bis auf Vorfaktor, der beim char. Polynom -1 oder 1 ist) so aus wie du gesagt hast
>> oder kann es vorkommen, dass die Darstellung noch weitere
>> Summanden enthält z.B. (x-3)(x+2)(x+1)+2x-14 oder so?
Nein. Nur wenn du nicht alle n Nullstellen rausmultipliziert hast, bleibt natürlich ein Restterm der einfach ein Polynom ist.
Wenn du sie alle rausmultiplizierst, und es sind auch wirklich n, dann bleibt außer den o.g. Faktoren nix übrig.
>> Und wie finde ich die Darstellung der Linearfaktoren - oft habe ich ein
>> Beispiel wie z.B. -x³+10x²-31x+30. Wie kann ich daraus auf die
>> Linearfaktoren schließen.
Wenn du die Nullstellen hast (siehe oben) und die Nullstellen sind (n=4)meinetwegen a, b, c, und d, dann ist das Polynom darstellbar als
+-const * (x-a)(x-b)(x-c)(x-d).
Einfach das Polynom nacheinander für jede Nullstelle k per Polynomdivision durch (x-k) teilen sollte es tun.
>> Wie finde ich überhaupt die Nullstellen.
Für n=2 geht pq-Formel, (ansonsten bestimmt auch das Newtonverfahren *g*) aber meistens läuft es über Raten...
In Klausuren sind es immer solche wie 0, 1, 2, -1, -2, 1/2 oder ähnliches was man durch Ausprobieren rauskriegt. Für größeres n ist Ausrechnen nicht so einfach drin...
>> Manchmal sieht man eine und kann dann eine Polynomdivision machen.
>> Das klappt ganz gut, aber klappt das immer wenn ich eine Nullstelle
>> habe oder geht die Polynomdivision manchmal nicht auf?
Wenn a eine NS ist, dann kannst du (x-a) IMMER ausmultiplizieren und es geht auf. Sieht man daran dass (x-a) genau dann null ist wenn x=a gilt -
und (anschaulich gesehen) muss x=a nach sich ziehen, dass das GANZE Polynom null ist => (x-a) "ist als Faktor im ganzen Polynom drin" => rausziehbar
>> habe mal gelesen, das eine lin. Abb. genau dann bijektiv ist, wenn die
>> zugehörige Determinante ungleich 0 ist, also vollen Rang hat - stimmt
>> das?
Ja. Lineare Abb. lassen sich als Matrix schreiben.
Wenn det ungleich null, ist die Matrix invertierbar
also haben wir eine Umkehrabbildung für unsere Abb. gefunden
also war die Abb. bijektiv
Hoffe es hilft
Becci
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Also, das hilft ganz sicher sogar sehr, - vielen Dank für die Mühe, die Du Dir gegeben hast Becci. Eine Follow-up Frage habe ich noch, da ich z.Zt. dabei bin Aufgaben zu rechnen. Nun ist es ja so, dass es für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix nicht ausreicht, dass das char.Pol in Linearfaktoren zerfällt, sondern die arithmetische Vielfachheit der Nullstellen muss gleich der Dimension der zugehörigen Eigenräume sein. So weit so gut. Muss ich jetzt zur Bestimmung der Dimension des Eigenraums den ganzen Eigenraum Ausrechnen oder reicht es den Eigenwert auf der Diagonalen von der Matrix abzuziehen und dann den Rang der Matrix zu berechnen. Genau dann, wenn r der Rang der Matrix und a die arithmetische Vielfachheit des Eigenwerts und n die Anzahl der Spalten/Zeilen der Matrix und a=n-r für alle Eigenwerte der Matrix müsste doch eigentlich die Matrix diagonalisierbar sein. Stimmt das so?
viele Grüße,
Klaus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Do 09.06.2005 | | Autor: | taura |
Hi!
> Also, das hilft ganz sicher sogar sehr, - vielen Dank für
> die Mühe, die Du Dir gegeben hast Becci. Eine Follow-up
> Frage habe ich noch, da ich z.Zt. dabei bin Aufgaben zu
> rechnen. Nun ist es ja so, dass es für die
> Diagonalisierbarkeit einer Matrix nicht ausreicht, dass das
> char.Pol in Linearfaktoren zerfällt, sondern die
> arithmetische Vielfachheit der Nullstellen muss gleich der
> Dimension der zugehörigen Eigenräume sein. So weit so gut.
> Muss ich jetzt zur Bestimmung der Dimension des Eigenraums
> den ganzen Eigenraum Ausrechnen oder reicht es den
> Eigenwert auf der Diagonalen von der Matrix abzuziehen und
> dann den Rang der Matrix zu berechnen. Genau dann, wenn r
> der Rang der Matrix und a die arithmetische Vielfachheit
> des Eigenwerts und n die Anzahl der Spalten/Zeilen der
> Matrix und a=n-r für alle Eigenwerte der Matrix müsste doch
> eigentlich die Matrix diagonalisierbar sein. Stimmt das
> so?
Stimmt so würd ich mal sagen! 
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