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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Indem man in der Eulerschen Formel [mm] \phi [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] einsetzt, beweise man die Additionstheoreme für den cos bzw. den sin:
[mm] \cos(\alpha+\beta) [/mm] = [mm] \cos\alpha*\cos\beta [/mm] - [mm] \sin \alpha*\sin \beta
[/mm]
[mm] \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha*\cos\beta+\sin\beta*\cos\alpha [/mm] |
Hallo.
Die Eulersche Formel lautet ja: [mm] $e^{i \phi} [/mm] = [mm] \cos\phi [/mm] + i [mm] \sin\phi$
[/mm]
Jetzt setze ich für [mm] \phi \alpha+\beta [/mm] ein
[mm] $e^{i \alpha+\beta} [/mm] = [mm] \cos(\alpha+\beta) [/mm] + i [mm] \sin(\alpha+\beta)$
[/mm]
Darf ich jetzt einfach so folgendes machen?
[mm] $e^{i \alpha+\beta} [/mm] = [mm] \cos(\alpha)*\cos(\beta) [/mm] + i [mm] \sin(\alpha)*\sin(\beta)$
[/mm]
Oder darf ich das gar nicht?
Ich gehe noch einmal zurück
[mm] $e^{i \alpha+\beta} [/mm] = [mm] cos(\alpha+\beta) [/mm] + i [mm] sin(\alpha+\beta)$
[/mm]
[mm] =(cos\alpha+i \sin\alpha)(cos\beta [/mm] + i [mm] sin\beta)
[/mm]
Das multipliziere ich aus, hoffentlich mache ich keinen Tippfehler
[mm] $=cos\alpha [/mm] cos [mm] \eta+cos\alpha [/mm] i [mm] sin\beta [/mm] + i [mm] sin\alphacos\eta-sin\alpha [/mm] sin [mm] \beta$
[/mm]
[mm] $=cos\alpha cos\beta [/mm] - [mm] sin\alpha sin\beta+i(cos\alpha si\beta+sin \alpha cos\beta)$
[/mm]
Das sind ja jetzt eigentlich sogar beide Additionstheoreme in einem:
[mm] cos(\alpha+\beta) [/mm] = [mm] cos\alpha cos\beta [/mm] - [mm] sin\alpha sin\beta
[/mm]
[mm] sin(\alpha+\beta)=sin\alphacos\beta+sinn\betacos\alpha
[/mm]
Die sind da ja zu finden. Is das jetzt der Beweis? Also meine zweite Rechnung mit dem Ausmultiplizieren?
Danke schon mal.
Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Mo 23.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Phoney,
ich denke Du musst wie folgt vorgehen.
[mm] e^{i(\alpha+\beta)}=cos(\alpha+\beta)+i*sin(\alpha+\beta)
[/mm]
andererseits gilt
[mm] e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}*e^{i\beta}=(cos(\alpha)+i*sin(\alpha))*(cos(\beta)+i*sin(\beta)) [/mm] also
[mm] e^{i(\alpha+\beta)}=cos(\alpha)*cos(\beta)-sin(\alpha)*sin(\beta)+i*(sin(\alpha)*cos(\beta)+cos(\alpha)*sin(\beta))
[/mm]
Durch vergleich der Real- und Imaginärteile folgt die Behauptung.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Phoney |
> ich denke Du musst wie folgt vorgehen.
Hätte mich auch gewundert wenn meine erste Rechnung in die richtige Richtung gegangen wäre.
Nun ist es klar, vielen Dank!
Grüße
Johann
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