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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:48 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | | Man zeige: cos (2) < 0 |
Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
Hi!
Ich hab hier ein Problem mit dieser Aufgabe, bzw. überhaupt keine ahnung wie ich das zeigen soll. ich hab folgenden tipp bekommen: ich soll erst die ersten paar ausrechnen und dann zeigen, dass die letzten glieder das nicht kaputt machen. also mir hilft das irgendwie gar nichts, weil ich nicht mal weiß was ich ausrechnen soll. Ich dachte man muss irgendwie was mit cos= 1/2 [mm] (e^{ix} [/mm] + [mm] e^{-ix}) [/mm] machen, aber wegen dem i hab ich keine ahnung wie man da was rechnen soll.
Gruß Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Kati!
Ich nehme doch mal an, dass du mit der Potenzreihendarstellung des Cosinus,
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!}$
[/mm]
arbeiten sollst.
Setze mal $x=2$ ein und rechne die ersten Glieder aus. Du kommst schnell auf etwas Negatives. Vielleicht kannst du dann (etwa mit einer Restgliedabschätzung) zeigen, dass der Rest dann betraglich hinreichend klein ist...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Kati |
Das ist gut möglich, aber offiziell kenne ich diese Darstellung des Cosinus noch nicht. Kann ich mir die irgendwie herleiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Diese Darstellung kannst Du Dir herleiten aus der ![[]](/images/popup.gif) Taylor-Reihe :
$f(x) \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*x^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{f(0)}{0!}*x^0+\bruch{f'(0)}{1!}*x^1+\bruch{f''(0)}{2!}*x^2+\bruch{f'''(0)}{3!}*x^3++\bruch{f^{(4)}(0)}{4!}*x^4+...$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Kati |
Ich glaube damit kann ich das auch nicht machen. so was in der Art hab ich noch nie gesehen, deswegen darf ich das sicherlich nicht anwenden. geht das nicht noch irgendwie anders...
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Fr 20.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kati
1.wenn du die Reihe für [mm] e^{x} [/mm] kennst kannst du ix und -ix für x einsetzen und addieren, dann bekommst du die Reihe für cosx!
2. wenn du weisst dass [mm] e^{ix} [/mm] auf dem Einheitskreis liegt; und [mm] e^{i*\pi/2}=i [/mm] und [mm] e^{i\pi}=-1 [/mm] ist liegt [mm] e^{2i} [/mm] dazwischen, entsprechend e^(-2i) zw. -i und -1, also die Summe negativ,
Gruss leduart
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