cosinus und sinus in C < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Mi 28.05.2008 | | Autor: | lula |
Hallo zusammen,
habe mal wieder Aufgaben vor mir und finde absolut keinen Ansatz: Zeige, dass
[mm] cos(3z)=4cos^3(z)-3cos(z) [/mm] und [mm] sin(4z)=8cos^3(z)*sin(z)-4cos(z)*sin(z)
[/mm]
Ich weiß ehrlich gesagt überhaupt nicht, wie ich an die Aufgabe herangehen soll...! Wäre super, wenn ihr mir irgendwie weiter helfen könntet!
Liebe Grüße,
Lula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Mi 28.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Verwende die Def. von cos(z):
cos(z) = (exp(iz) + exp(-iz))/2.
Jetzt mußt Du Deine erste Gleichung nur noch nachrechnen
Ahnliches gilt für die 2. Gleichung
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 29.05.2008 | | Autor: | lula |
Danke für die Antwort!
Habe das mit dem Einsetzen versucht und folgendes herausbekommen:
[mm] \bruch{1}{2}*[e^{3iz}+e^{-3iz}]=\bruch{1}{2}*e^{iz})^{3}+(e^{-iz})^{3}]. [/mm] Jetzt komme ich mal wieder nicht weiter, weiß nicht, wie ich das weiter umformen kann.
Zur zweiten Aufgabe: ´Heißt die Formel, die ich dafür verwenden muss: [mm] sin(z)=(e^{iz}-e^{-iz})/2 [/mm] ?
LG, Lula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Do 29.05.2008 | | Autor: | lula |
Habe gerade festgestellt, dass es bei der zweiten (...)/2i heißen muss, aber das macht das ganze nur noch komplizierter...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 31.05.2008 | | Autor: | lula |
Hallo zusammen,
könnte evtl noch einmal jemand über die Aufgabe drüber schauen, ich bin leider immer noch nicht weiter gekommen und es wäre relativ wichtig, wenn ich die Aufgabe noch bis Montag hinbekommen. Wäre echt super, wenn mir noch jemand weiter helfen könnte!
Liebe Grüße,
Lula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Sa 31.05.2008 | | Autor: | nikito |
Es gibt eine Umformung für [mm] cos^3(x):
[/mm]
[mm] cos^3(x)=\bruch{1}{4}(3cos(x)+cos(3x))
[/mm]
Ich denke die gilt auch in [mm] \IC. [/mm] Mit der sind beide Aufgaben leicht zu lösen denke ich. Allerdings bin ich mir da alles andere als sicher :( Wäre vielleicht ein wenig zu einfach.
Lg Nikito
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es gibt eine Umformung für [mm]cos^3(x):[/mm]
>
> [mm]cos^3(x)=\bruch{1}{4}(3cos(x)+cos(3x))[/mm]
wenn Du gucken willst, ob die auch in [mm] $\IC$ [/mm] gilt, dann geht das allerdings wieder mit [mm] $\cos(z)=\frac{1}{2}(\exp(i*z)+\exp(-i*z))$ ($\forall [/mm] z [mm] \in \IC$)
[/mm]
Und den Rest entnimmt man meiner Antwort unten...
Diese Formel kann man aber gut als "Zwischenergebnis" markieren und auch ggf. bei [mm] $\sin(4z)$ [/mm] nochmals verwenden, wenn man sie mal im Komplexen bewiesen hat...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lula,
> Danke für die Antwort!
> Habe das mit dem Einsetzen versucht und folgendes
> herausbekommen:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*[e^{3iz}+e^{-3iz}]=\bruch{1}{2}*e^{iz})^{3}+(e^{-iz})^{3}].[/mm]
> Jetzt komme ich mal wieder nicht weiter, weiß nicht, wie
> ich das weiter umformen kann.
> Zur zweiten Aufgabe: ´Heißt die Formel, die ich dafür
> verwenden muss: [mm]sin(z)=(e^{iz}-e^{-iz})/2[/mm] ?
Du hast doch die Gleichung
[mm] $(\star)$ $\cos(3z)=4\cos^3(z)-3\cos(z) [/mm] $
zu zeigen. Mit [mm] $\cos(z)=\frac{1}{2}\left(\exp(i*z)+\exp(-i*z)\right)$ [/mm] gilt:
[mm] $\cos(3z)=4\cos^3(z)-3\cos(z) [/mm] $
[mm] $\gdw \frac{1}{2}\left(\exp(i*3z)+\exp(-i*3z)\right)=4*\left(\frac{1}{2}\left(\exp(i*z)+\exp(-i*z)\right)\right)^3-3*\frac{1}{2}\left(\exp(i*z)+\exp(-i*z)\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw \exp(i*3z)+\exp(-i*3z)=\left(\exp(i*z)+\exp(-i*z)\right)^3-3*\exp(i*z)-3*\exp(-i*z)$ $(\star_2)$
[/mm]
Du kannst nun, um [mm] $(\star_2)$ [/mm] zu zeigen, einfach die rechte Seite:
[mm] $\left(\exp(i*z)+\exp(-i*z)\right)^3-3*\exp(i*z)-3*\exp(-i*z)$
[/mm]
unter Benutzung von [mm] $\exp(z+w)=\exp(z)*\exp(w)$ ($\forall [/mm] z,w [mm] \in \IC$) [/mm] ausrechnen (bzw. damit folgt ja insbesondere [mm] $\exp(w)^3=\exp(3*w)$ $\forall [/mm] w [mm] \in \IC$; [/mm] diese Regel für [mm] $\exp(.)$ [/mm] kennst Du sicher auch *etwas allgemeiner*) und damit zeigen, dass diese (also die rechte Seite von [mm] $(\star_2)$) [/mm] gerade [mm] $=\exp(i*3z)+\exp(-i*3z)$ [/mm] ist. Damit hast Du dann [mm] $(\star_2)$ [/mm] gezeigt, und die Behauptung [mm] $(\star)$ [/mm] folgt dann mit der obigen Rechnung durch Verfolgen der Pfeile [mm] $\Leftarrow$, [/mm] wenn man sie von unten nach oben liest.
Oder Du gehst die Sache so an, dass Du einfach mal direkt:
[mm] $4\cos^3(z)=4*\frac{1}{2^3}*\left(\exp(i*z)+\exp(-i*z)\right)^3=\frac{1}{2}\left(\exp(i*z)+\exp(-i*z)\right)^3$ [/mm] mit der ![[]](/images/popup.gif) binomischen Formel [mm] ($\leftarrow$ bitte anklicken) ausrechnest unter Einbeziehung geeigneter [/mm] Eigenschaften der komplexen e-Funktion [mm] ($\leftarrow$ bitte anklicken).
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lula,
> Danke für die Antwort!
> Habe das mit dem Einsetzen versucht und folgendes
> herausbekommen:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*[e^{3iz}+e^{-3iz}]=\bruch{1}{2}*e^{iz})^{3}+(e^{-iz})^{3}].[/mm]
> Jetzt komme ich mal wieder nicht weiter, weiß nicht, wie
> ich das weiter umformen kann.
> Zur zweiten Aufgabe: ´Heißt die Formel, die ich dafür
> verwenden muss: [mm]sin(z)=(e^{iz}-e^{-iz})/2[/mm] ?
>
> LG, Lula
versuch' erst mal, meine Rechnung mit dem Cosinus zu verstehen. Und bei der Aufgabe mit [mm] $\sin(4z)$ [/mm] kannst Du in der Tat die Formel (die Du ja schon selbst korrekt zu)
(I) [mm] $\sin(z)=\frac{1}{2i}\left(\exp(i*z)-\exp(-i*z)\right)$
[/mm]
(korrigiert hast) verwenden. Lasse Dich von dem $i$ nicht abschrecken, es gilt [mm] $i^2=-1$, $i^4=1$ [/mm] etc. und, ich bin nun gerade zu faul, um die ganze Rechnung durchzuführen, ggf. kürzt sich das $i$ auch weg...
Also:
Mit (I) und der Formel in meiner anderen Antwort für den Cosinus gilt:
[mm] $\sin(4z)=8\cos^3(z)\cdot{}\sin(z)-4cos(z)\cdot{}\sin(z) [/mm] $
[mm] $\gdw \frac{1}{2i}\left(\exp(i*4z)-\exp(-i*4z)\right)=(\exp(i*z)+\exp(-i*z))^3*\frac{1}{2i}\left(\exp(i*z)-\exp(-i*z)\right)-\frac{1}{i}(\exp(i*z)+\exp(-i*z))*(\exp(i*z)-\exp(i*z))$
[/mm]
(Hier sieht man auch schon, dass das $i$ im folgenden keine Rolle mehr spielen wird...)
[mm] $\gdw$ [/mm] ...
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Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 01.06.2008 | | Autor: | lula |
Vielen Dank für die vielen tollen Erklärungen, konnte das meiste sogar nachvollziehen. Ich hätte da noch eine Frage bzgl. [mm] (e^{iz}+e^{-iz})^{3}: [/mm] Ist dann das nicht wg [mm] (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} [/mm] das Ergebnis nicht [mm] e^{3iz}+(3e^{2iz}*e^{-iz})+(3e^{iz}*e^{2(-iz)})+e^{3(-iz)}? [/mm] Dann würde ich aber nicht auf (**) kommen...(da ich von dem ganzen ja nur [mm] 3e^{iz} [/mm] und [mm] 3^{-iz} [/mm] abziehen muss? (das gibt ja dann bei der zweiten Aufgabe auch Probleme...)
Grüße, Lula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 So 01.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lula!
> Vielen Dank für die vielen tollen Erklärungen, konnte das
> meiste sogar nachvollziehen. Ich hätte da noch eine Frage
> bzgl. [mm](e^{iz}+e^{-iz})^{3}:[/mm] Ist dann das nicht wg
> [mm](a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}[/mm] das Ergebnis nicht
> [mm]e^{3iz}+(3e^{2iz}*e^{-iz})+(3e^{iz}*e^{2(-iz)})+e^{3(-iz)}?[/mm]
Das ist richtig.
> Dann würde ich aber nicht auf (**) kommen...(da ich von dem
> ganzen ja nur [mm]3e^{iz}[/mm] und [mm]3^{-iz}[/mm] abziehen muss? (das gibt
> ja dann bei der zweiten Aufgabe auch Probleme...)
Doch ,du musst nur die Potenzgesetze anwenden:
[mm] 3e^{2iz}*e^{-iz} = 3 * e^{2iz-iz} = 3*e^{iz} [/mm]
und
[mm] 3e^{iz}*e^{-2iz} = 3 * e^{iz-2iz} = 3*e^{-iz} [/mm]
Also:
[mm](e^{iz}+e^{-iz})^{3} = e^{3iz}+3*e^{iz}+3*e^{-iz}+e^{-3iz} = (e^{3iz} + e^{-3iz}) + 3*(e^{iz}+e^{-iz})[/mm]
Die linke Seite dieser Gleichung ist [mm] $(2\cos z)^3$, [/mm] die rechte Seite kannst du auch durch den Cosinus ausdrücken:
[mm] (2\cos z)^3 = 2 \cos(3z) + 3* (2\cos z) [/mm]
Jetzt löst du diese Gleichung nur noch nach [mm] $\cos(3z)$ [/mm] auf.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 So 01.06.2008 | | Autor: | lula |
Oh, super, vielen Dank. Wenn man natürlich die Gesetze falsch anwendet, kommt natürlich nur Unsínn raus... Danke für die tolle Unterstützung!!!!
LG, Lula
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