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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 13.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben seien F,G [mm] \in Hom(\IR^{3},\IR) [/mm] mit [mm] F(x_{1},x_{2},x_{3})=a_{1}*x_{1}+a_{2}*x_{2}*a_{3}*x_{3},
[/mm]
[mm] G(x_{1},x_{2},x_{3})=b_{1}*x_{1}+b_{2}*x_{2}*b_{3}*x_{3}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] s:\IR^{3} \times \IR^{3} \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] F(x)*G(x) eine Bilinearform ist
b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M von s bezüglich der kanonischen Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] |
Hallo,
ich hab die Lösung zur Aufgabe b) aber ich kann die nicht ganz nachvollziehen und die a) ist irgendwie voll umständlich
a) s ist eine Bilinearform genau dann wenn folgendes gilt:
1. [mm] s(ax_{1}+b*x_{2},y)=a*s(x_{1},y)+b*s(x_{2},y)
[/mm]
2. [mm] s(x,a*y_{1}+b*y_{2})= a*s(x,y_{1})+b*s(x,y_{1})
[/mm]
Wenn ich diese Eigenschaften nachrechnen will, wird das voll die lange Rechnung. Kann man hier nicht irgendwie anders argumentieren?
b) In der Lösung ist angegeben dass [mm] M=\pmat{ a_{1}*b_{1} & a_{1}*b_{2} & a_{1}*b_{3} \\ a_{2}*b_{1} & a_{2}*b_{2} & a_{2}*b_{3} \\ a_{3}*b_{1} & a_{3}*b_{2} & a_{3}*b_{3} } [/mm] ist.
Ich komme aber auf etwas anderes und finde meinen Fehler nicht.
Sei [mm] B=(e_{1},e_{2},e_{3}) [/mm] die kanonische Basis des [mm] \IR^{3}
[/mm]
Zunächst berechne ich
[mm] s(e_{1})=a_{1}*b_{1} [/mm] und stelle das Bild durch B dar: [mm] a_{1}*b_{1}=a_{1}*b_{1}*e_{1}+0*e_{2}+0*e_{3}.
[/mm]
Analog gilt:
[mm] s(e_{2})=a_{2}*b_{2} [/mm] und stelle das Bild durch B dar: [mm] a_{2}*b_{2}=a_{2}*b_{2}*e_{2}+0*e_{1}+0*e_{3} [/mm] und
[mm] s(e_{3})=a_{3}*b_{3} [/mm] und stelle das Bild durch B dar: [mm] a_{3}*b_{3}=a_{3}*b_{3}*e_{3}+0*e_{1}+0*e_{2}.
[/mm]
Somit ist [mm] M=\pmat{ a_{1}*b_{1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2}*b_{2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{3}*b_{3} }.
[/mm]
Ok, ich kann schon nachvollziehen wie die auf [mm] M=\pmat{ a_{1}*b_{1} & a_{1}*b_{2} & a_{1}*b_{3} \\ a_{2}*b_{1} & a_{2}*b_{2} & a_{2}*b_{3} \\ a_{3}*b_{1} & a_{3}*b_{2} & a_{3}*b_{3} } [/mm] gekommen sind, aber ich kann nicht verstehen, wieso man jeweils die 2 Nullen einfach weglässt, die gehören doch dazu.
Kann mir das jemand erklären?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
> Gegeben seien F,G [mm]\in Hom(\IR^{3},\IR)[/mm] mit
> [mm]F(x_{1},x_{2},x_{3})=a_{1}*x_{1}+a_{2}*x_{2}*a_{3}*x_{3},[/mm]
> [mm]G(x_{1},x_{2},x_{3})=b_{1}*x_{1}+b_{2}*x_{2}*b_{3}*x_{3}.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]s:\IR^{3} \times \IR^{3} \to \IR,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] F(x)*G(x) eine Bilinearform ist
>
> b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M von s bezüglich
> der kanonischen Basis des [mm]\IR^{3}[/mm]
> Hallo,
>
> ich hab die Lösung zur Aufgabe b) aber ich kann die nicht
> ganz nachvollziehen und die a) ist irgendwie voll
> umständlich
>
> a) s ist eine Bilinearform genau dann wenn folgendes gilt:
>
> 1. [mm]s(ax_{1}+b*x_{2},y)=a*s(x_{1},y)+b*s(x_{2},y)[/mm]
>
> 2. [mm]s(x,a*y_{1}+b*y_{2})= a*s(x,y_{1})+b*s(x,y_{1})[/mm]
>
> Wenn ich diese Eigenschaften nachrechnen will, wird das
> voll die lange Rechnung. Kann man hier nicht irgendwie
> anders argumentieren?
Hmm, wüsste ich nicht; die definierenden Eigenschaften nachzuprüfen, ist wohl der Weg der Wahl ...
>
> b) In der Lösung ist angegeben dass [mm]M=\pmat{ a_{1}*b_{1} & a_{1}*b_{2} & a_{1}*b_{3} \\
a_{2}*b_{1} & a_{2}*b_{2} & a_{2}*b_{3} \\
a_{3}*b_{1} & a_{3}*b_{2} & a_{3}*b_{3} }[/mm]
> ist.
>
> Ich komme aber auf etwas anderes und finde meinen Fehler
> nicht.
> Sei [mm]B=(e_{1},e_{2},e_{3})[/mm] die kanonische Basis des
> [mm]\IR^{3}[/mm]
>
> Zunächst berechne ich
>
> [mm]s(e_{1})=a_{1}*b_{1}[/mm] und stelle das Bild durch B dar:
> [mm]a_{1}*b_{1}=a_{1}*b_{1}*e_{1}+0*e_{2}+0*e_{3}.[/mm]
Wie willst du denn [mm]s(e_1)[/mm] berechnen?????
[mm]e_1[/mm] ist ein unzulässiges Argument!
[mm]s[/mm] bildet von [mm]\IR^3\times\IR^3\to\IR[/mm] ab!
Du musst also Paare von Vektoren aus dem [mm]\IR^3[/mm] als Argumente in [mm]s[/mm] reinstopfen.
Die Einträge [mm]g_{ij}[/mm] der Grammatrix [mm]G[/mm] berechnen sich aus [mm]s((e_i,e_j))[/mm].
Um den Eintrag [mm]g_{11}[/mm] zu berechnen, rechne aus, was [mm]s((e_1,e_1))[/mm] ergibt.
Für den Eintrag [mm]g_{31}[/mm] etwa berechne [mm]s((e_3,e_1))[/mm]
>
> Analog gilt:
>
> [mm]s(e_{2})=a_{2}*b_{2}[/mm] und stelle das Bild durch B dar:
> [mm]a_{2}*b_{2}=a_{2}*b_{2}*e_{2}+0*e_{1}+0*e_{3}[/mm] und
>
> [mm]s(e_{3})=a_{3}*b_{3}[/mm] und stelle das Bild durch B dar:
> [mm]a_{3}*b_{3}=a_{3}*b_{3}*e_{3}+0*e_{1}+0*e_{2}.[/mm]
Das ist analog Kokolores.
Du scheinst das irgendwie machen zu wollen wie bei einer linearen Abbildung ...
Schaue dir nochmal genau die Abbildung [mm]s[/mm] an ...
>
> Somit ist [mm]M=\pmat{ a_{1}*b_{1} & 0 & 0 \\
0 & a_{2}*b_{2} & 0 \\
0 & 0 & a_{3}*b_{3} }.[/mm]
>
> Ok, ich kann schon nachvollziehen wie die auf [mm]M=\pmat{ a_{1}*b_{1} & a_{1}*b_{2} & a_{1}*b_{3} \\
a_{2}*b_{1} & a_{2}*b_{2} & a_{2}*b_{3} \\
a_{3}*b_{1} & a_{3}*b_{2} & a_{3}*b_{3} }[/mm]
> gekommen sind, aber ich kann nicht verstehen, wieso man
> jeweils die 2 Nullen einfach weglässt, die gehören doch
> dazu.
> Kann mir das jemand erklären?
>
> Vielen Dank
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 13.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Zunächst berechne ich
> >
> > [mm]s(e_{1})=a_{1}*b_{1}[/mm] und stelle das Bild durch B dar:
> > [mm]a_{1}*b_{1}=a_{1}*b_{1}*e_{1}+0*e_{2}+0*e_{3}.[/mm]
>
> Wie willst du denn [mm]s(e_1)[/mm] berechnen?????
Zugegeben, ich habs falsch aufgeschrieben, ich meinte [mm] s(e_{1},e_{1})
[/mm]
>
> [mm]e_1[/mm] ist ein unzulässiges Argument!
>
> [mm]s[/mm] bildet von [mm]\IR^3\times\IR^3\to\IR[/mm] ab!
>
> Du musst also Paare von Vektoren aus dem [mm]\IR^3[/mm] als
> Argumente in [mm]s[/mm] reinstopfen.
>
> Die Einträge [mm]g_{ij}[/mm] der Grammatrix [mm]G[/mm] berechnen sich aus
> [mm]s((e_i,e_j))[/mm].
>
> Um den Eintrag [mm]g_{11}[/mm] zu berechnen, rechne aus, was
> [mm]s((e_1,e_1))[/mm] ergibt.
>
> Für den Eintrag [mm]g_{31}[/mm] etwa berechne [mm]s((e_3,e_1))[/mm]
Ja, wie man die Einträge der Gramschen Matrix berechnet, weiß ich.
Nur versteh ich nicht, wieso man jetzt die Gramsche Matrix berechnet. Ich dachte wir wollen die darstellende Matrix haben. Es ist z.B. [mm] s(e_{1},e_{1})=a_{1}*b_{1} [/mm] und dieses Bild muss dargestellt werden durch die kanonische Basis des [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Das Problem ist, dass das eigentlich gar nicht möglich ist, denn das Bild ist aus dem [mm] \IR [/mm] und die kanonische Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] eben aus dem [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Dann kann ich das Bild doch nicht durch diese Basis darstellen, wie geht das denn???
Und wieso wird hier die darstellende Matrix mit der Gramschen Matrix gleichgesetzt?
lg
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Hallo,
Du möchtest die darstellende Matrix der Abbildung s haben.
Nun ist s eine Bilinearform, also keine lineare Abbildung, und deshalb kannst Du kaum erwarten, daß das Kochrezept für die Darstellungsmatrix linearer Abbildungen auch hier funktioniert - daß es nicht funktionieren kann, merkst Du ja selbst.
Die Darstellungsmatrix einer Bilinearform ist halt die Gramsche Matrix.
Wenn Du wissen willst, warum das so ist, beweise es mal für den [mm] \IR^3 [/mm] oder schau Dir den Beweis der Vorlesung an.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:40 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Stimmt ja.Jetzt erinnere ich mich wieder, dass bei einer Bilinearform die Gramsche Matrix die Darstellungsmatrix ist. Wie konnte ich das nur vergessen...
Vielen Dank
lg
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