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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] a_{0}+a_{1}x+a_{2}+x^{2} \mapsto a_{0}+a_{1}x (a_{i},x \in \IR) [/mm] von [mm] P_{2} [/mm] in [mm] P_{1}.
[/mm]
a) Berechne die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen [mm] B_{2} [/mm] und [mm] B_{1} [/mm] mit
[mm] B_{2}: \phi_{0}(x)=1, \phi_{1}(x)=x, \phi_{2}(x)=x^{2} [/mm] von [mm] P_{2}
[/mm]
[mm] B_{1}: n_{0}(x)=1, n_{1}(x)=1+x [/mm] von [mm] P_{1}.
[/mm]
b) Bestimme dim kern (f).
c) Zeige: f [mm] \in Hom(P_{2},P_{2}); [/mm] bestimme das Spektrum von f und ggfl's die Eigenräume. |
Hallo,
ich weiß wie man die Aufgabe löst,also die Vorgehensweise, aber irgendwie komme ich nicht mehr weiter.
a) Für die darstellende Matrix muss ich zunächst die Bilder von [mm] B_{2} [/mm] berechnen. Das habe ich getan und es ist [mm] f(1)=a_{0}+a_{1}, f(x)=a_{0}+a_{1}x, f(x^{2})=a_{0}+a_{1}x^{2}.
[/mm]
Diese Bilder müssen nun durch die Basis [mm] B_{1} [/mm] dargestellt werden.
Es ist [mm] f(1)=(a_{0}+a_{1})*1+0*(1+x), f(x)=a_{0}*1+y*(1+x) [/mm] (das y krieg ich nicht raus).
Und [mm] f(x^{2})=a_{0}*1+y*(1+x). [/mm] Auch hier krieg ich irgendwie das y nicht raus.
Wie kann ich denn die y rauskriegen?
zu b) Wenn ich die gesuchte Matrix M aus a) habe, kann ich die b) so lösen: Ich löse das Gleichungssystem Mx=0, indem ich die Matrix auf Stufenform bringe. dann lese ich den Rang ab und es ist n-r=dim kern(f), wobei x [mm] \in K^{n}.
[/mm]
Ist es allgmein eigentlich egal, welche darstellende Matrix ich für eine Lineare Abbildung nehme, um den Rang, Dimension usw. abzulesen oder muss es die darstellende Matrix bzgl. der Standardbasis sein?
c) Das Spektrum könnte ich doch bestimmen,indem ich die Eigentwerte der in A ausgerechneten Matrix bestimme oder? Und dann die jeweiligen Eigenräume berechnen. f ist genau dann ein Hom., wenn f von [mm] P_{2} [/mm] nach [mm] P_{2} [/mm] geht und linear ist. Also muss ich nur noch zeigen, dass f linear ist?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Sei f: [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}+x^{2} \mapsto a_{0}+a_{1}x (a_{i},x \in \IR)[/mm]
> von [mm]P_{2}[/mm] in [mm]P_{1}.[/mm]
>
> a) Berechne die darstellende Matrix von f bezüglich der
> Basen [mm]B_{2}[/mm] und [mm]B_{1}[/mm] mit
>
> [mm]B_{2}: \phi_{0}(x)=1, \phi_{1}(x)=x, \phi_{2}(x)=x^{2}[/mm] von
> [mm]P_{2}[/mm]
> [mm]B_{1}: n_{0}(x)=1, n_{1}(x)=1+x[/mm] von [mm]P_{1}.[/mm]
>
> b) Bestimme dim kern (f).
>
> c) Zeige: f [mm]\in Hom(P_{2},P_{2});[/mm] bestimme das Spektrum von
> f und ggfl's die Eigenräume.
> Hallo,
>
> ich weiß wie man die Aufgabe löst,also die
> Vorgehensweise, aber irgendwie komme ich nicht mehr
> weiter.
>
> a) Für die darstellende Matrix muss ich zunächst die
> Bilder von [mm]B_{2}[/mm] berechnen. Das habe ich getan und es ist
> [mm]f(1)=a_{0}+a_{1}, f(x)=a_{0}+a_{1}x, f(x^{2})=a_{0}+a_{1}x^{2}.[/mm]
>
> Diese Bilder müssen nun durch die Basis [mm]B_{1}[/mm] dargestellt
> werden.
> Es ist [mm]f(1)=(a_{0}+a_{1})*1+0*(1+x), f(x)=a_{0}*1+y*(1+x)[/mm]
> (das y krieg ich nicht raus).
> Und [mm]f(x^{2})=a_{0}*1+y*(1+x).[/mm] Auch hier krieg ich
> irgendwie das y nicht raus.
> Wie kann ich denn die y rauskriegen?
Es ist doch [mm]x^{2}=0*1+0*x+1*x^{2}, \ a_{0}=a_{1}=0, \ a_{2}=1[/mm]
und gemäß Abbildungsvorschrift wird das abgebildet auf ...
Demnach ist y= ... .
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Do 17.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei f: [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}+x^{2} \mapsto a_{0}+a_{1}x (a_{i},x \in \IR)[/mm]
> von [mm]P_{2}[/mm] in [mm]P_{1}.[/mm]
>
> a) Berechne die darstellende Matrix von f bezüglich der
> Basen [mm]B_{2}[/mm] und [mm]B_{1}[/mm] mit
>
> [mm]B_{2}: \phi_{0}(x)=1, \phi_{1}(x)=x, \phi_{2}(x)=x^{2}[/mm] von
> [mm]P_{2}[/mm]
> [mm]B_{1}: n_{0}(x)=1, n_{1}(x)=1+x[/mm] von [mm]P_{1}.[/mm]
>
> b) Bestimme dim kern (f).
>
> c) Zeige: f [mm]\in Hom(P_{2},P_{2});[/mm] bestimme das Spektrum von
> f und ggfl's die Eigenräume.
> Hallo,
>
> ich weiß wie man die Aufgabe löst,also die
> Vorgehensweise, aber irgendwie komme ich nicht mehr
> weiter.
>
> a) Für die darstellende Matrix muss ich zunächst die
> Bilder von [mm]B_{2}[/mm] berechnen. Das habe ich getan und es ist
> [mm]f(1)=a_{0}+a_{1}, f(x)=a_{0}+a_{1}x, f(x^{2})=a_{0}+a_{1}x^{2}.[/mm]
>
> Diese Bilder müssen nun durch die Basis [mm]B_{1}[/mm] dargestellt
> werden.
> Es ist [mm]f(1)=(a_{0}+a_{1})*1+0*(1+x), f(x)=a_{0}*1+y*(1+x)[/mm]
> (das y krieg ich nicht raus).
> Und [mm]f(x^{2})=a_{0}*1+y*(1+x).[/mm] Auch hier krieg ich
> irgendwie das y nicht raus.
> Wie kann ich denn die y rauskriegen?
Dein Ansatz ist falsch; du kannst nicht voraussetzen, dass der Faktor vor [mm] $n_0(x)$ $a_0$ [/mm] ist. Also setze an:
[mm] f(x) = b_0 * 1 + b_1 * (1+x) \gdw b_0+b_1=a_0, \,\, b_1 =a_1 [/mm]
> zu b) Wenn ich die gesuchte Matrix M aus a) habe, kann ich
> die b) so lösen: Ich löse das Gleichungssystem Mx=0,
> indem ich die Matrix auf Stufenform bringe. dann lese ich
> den Rang ab und es ist n-r=dim kern(f), wobei x [mm]\in K^{n}.[/mm]
>
> Ist es allgmein eigentlich egal, welche darstellende Matrix
> ich für eine Lineare Abbildung nehme, um den Rang,
> Dimension usw. abzulesen oder muss es die darstellende
> Matrix bzgl. der Standardbasis sein?
Rang, Dimension und Kern hängen nicht von der Darstellung oder der Basis ab.
Überlege dir: wie ändert sich die Gleichung $Mx=0$, wenn du einen Basiswechsel vornimmst?
> c) Das Spektrum könnte ich doch bestimmen,indem ich die
> Eigentwerte der in A ausgerechneten Matrix bestimme oder?
Ja.
> Und dann die jeweiligen Eigenräume berechnen. f ist genau
> dann ein Hom., wenn f von [mm]P_{2}[/mm] nach [mm]P_{2}[/mm] geht und linear
> ist. Also muss ich nur noch zeigen, dass f linear ist?
[mm] $P_1$ [/mm] ist ein Unterraum von [mm] $P_2$ [/mm] und f hat eine darstellende Matrix. Nichtlineare Abbildungen kannst du nicht als Matrix darstellen.
Viele Grüße
Rainer
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