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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Di 15.06.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Beweisen sie folgende geometrische darstellung des erwartungswertes
E[X] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{x*f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{[1-F(x)] dx} [/mm] - [mm] \integral_{- \infty}^{0}{F(x) dx} [/mm] |
hi zusammen,
so mein ansatz lautet wie folgt
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{x*f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{0}{x*f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\infty}{x*f(x) dx}
[/mm]
dann partiell integrieren
= xF(x) ( mit den grenzen - [mm] \infty [/mm] bis 0) - [mm] \integral_{- \infty}^{0}{F(x) dx} [/mm] + xF(x) ( mit den grenzen 0 und [mm] \infty) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{F(x) dx}
[/mm]
so beim ersten xF(x) ( mit den grenzen - [mm] \infty [/mm] bis 0) erhalte ich als grenzwert 0 das würde passen aber beim 2ten xF(x) ( mit den grenzen 0 und [mm] \infty) [/mm] erhalte ich als grenzwert b für b [mm] \to \infty [/mm] als grenzwert [mm] \infty [/mm] und da hängts dann vor allem komme ich auch nicht auf die passende form dann
im endeffekt komme ich auf
- [mm] \integral_{- \infty}^{0}{F(x) dx} [/mm] + xF(x) ( mit den grenzen 0 und [mm] \infty) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{F(x) dx}
[/mm]
wäre für hilfe dankbar
lg
meep
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Hallo!
Wenn X nichtnegativ ist, d.h. [mm] $X\ge [/mm] 0$, funktioniert der Beweis $EX = [mm] \int_{0}^{\infty}(1-F(x)) [/mm] dx$ so:
[mm] $EX:=\int_{0}^{\infty}x*f(x) [/mm] dx = [mm] \lim_{y\to\infty}\int_{0}^{y}x*f(x) [/mm] dx$
Für $y > 0$ ist (mit partieller Integration):
[mm] $\int_{0}^{y}x*f(x) [/mm] dx = [mm] \Big[-x*(1-F(x))\Big]_{0}^{y}+\int_{0}^{y}(1-F(x)) [/mm] dx$.
Bleibt zu zeigen: [mm] $\Big[-x*(1-F(x))\Big]_{0}^{y}\to [/mm] 0 [mm] \quad (y\to\infty)$.
[/mm]
[mm] $\lim_{y\to\infty}\left|\Big[-x*(1-F(x))\Big]_{0}^{y}\right| [/mm] = [mm] \lim_{y\to\infty}y*(1-F(y)) [/mm] = [mm] \lim_{y\to\infty}y*(\int_{0}^{\infty}f(x) [/mm] dx - [mm] \int_{0}^{y}f(x) [/mm] dx) = [mm] \lim_{y\to\infty}y*\int_{y}^{\infty}f(x) [/mm] dx [mm] \le \lim_{y\to\infty}\int_{y}^{\infty}x*f(x) [/mm] dx = 0$.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Di 15.06.2010 | | Autor: | meep |
danke für den beweis aber woher weißt du dass die stammfunktion von f(x) = 1 - F(x) ist wenn x>0 ist ? gibts da ne regel oder ähnliches ?
lg
meep
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Hallo!
> danke für den beweis aber woher weißt du dass die
> stammfunktion von f(x) = 1 - F(x) ist wenn x>0 ist ? gibts
> da ne regel oder ähnliches ?
Zunächst ist eine Stammfunktion von f(x) nicht 1-F(x), sondern F(x) - 1. Das folgt sofort aus
$F(y) = P(X [mm] \le [/mm] y) = [mm] \int_{0}^{y}f(x) [/mm] dx$...
Grüße,
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:03 Di 15.06.2010 | | Autor: | meep |
naja wenn ich das integriere bekomme ich F(y) - F(0) und F(0) ist ja nicht zwangsweise 1 oder ?
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Hallo,
Aus
$F(y) = [mm] \int_{0}^{y}f(x) [/mm] dx$
folgt, dass F irgendeine Stammfunktion von f ist (sie unterscheiden sich doch (nur) durch eine additive Konstante!).
Eine weitere Stammfunktion von f ist somit auch 1+F, 2+F, usw.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 17.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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