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| Aufgabe | | Die k-te de-Rham-Kohomologiegruppe $ [mm] H^k_{dR}(M) [/mm] $ einer offenen Teilmenge $ M [mm] \subset \IR^n [/mm] $ ist der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der geschlossenen k-Formen modulo des [mm] \IR-Vektorraumes [/mm] der exakten k-Formen auf M. Berechnen Sie alle de-Rham-Kohomologiegruppen für die Fälle $ M = [mm] \IR^n [/mm] $ und $ M = {x [mm] \in \IR^n [/mm] : |x|<1} $. Zeigen Sie, dass für alle offenen Mengen $ M [mm] \in \IR^n [/mm] $ gilt, dass $ [mm] H^0_{dR}(M) \cong \IR^d [/mm] $, wobei d die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von M ist. |
Ich habe eine Menge Fragen zu dieser Aufgabe, aber ich fange mal mit der ersten an, vielleicht klären sich dann schon ein paar weitere.
Ich nenne mal
[mm] \IR-Vektorraum [/mm] der geschlossenen k-Formen auf M =: G
[mm] \IR-Vektorraumes [/mm] der exakten k-Formen auf M =: E.
Also $ [mm] H^k_{dR}(M) [/mm] = G/E $.
1.Frage:
Wie sieht der Raum $ G/E $ aus? Wenn ich mal das übertrage, was ich zu modulo gelesen habe, dann müsste es eine Menge von Äquivalenzklassen von geschlossenen k-Formen sein, wobei zwei k-Formen genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz eine exakte k-Form ergibt. Stimmt das so?
tbc...
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Hallo
ja das stimmt so. Lg
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Ok. 2.Frage, wie ist das "Berechnen Sie" zu verstehen?
Also die beiden Mengen M sind beide sternförmig, d.h. alle k-Formen sind sowohl geschlossen als auch exakt. D.h. $G/E$ besteht nur aus einer Äquivalenzklasse. Hm. Berechnen? Kann mir jemand nen Tipp geben?
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hallo, ja das stimmt, jede geschlossene k-Form auf einem sternförmigen Gebiet ist exakt. Dh. für g+E [mm] \in [/mm] G/E [mm] ,g\in [/mm] G ist [mm] g\in [/mm] E und damit 0 in G/E . Du musst jetzt allerdings die Fälle k=0 und k>0 unterscheiden.
Lg
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stimmt... aber nur für $ k [mm] \ge [/mm] 1 $ ist die Eigenschaft "exakt" für k-Formen definiert. Ich hätte jetzt gesagt, [mm] \mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(M) [/mm] ist halt nicht definiert für $k = 0$.
Aber wikipedia sagt
Sei M eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit, dann ist [mm] \mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(M) [/mm] gleich der Menge der konstanten Funktionen und hat Dimension eins.
Hm. Wie kommt man da drauf?
Zum Vergleich: Für die oben genannten $M$'s und $ 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ hat $ [mm] \mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(M) [/mm] = [0] $ Dimension 0, oder?
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genau, [mm] H_{dR}^0(M) [/mm] ist schon definiert.
für [mm] \mathbb{R}^n=M [/mm] ist das aber nicht [mm] H_{dR}^0(M)=0, [/mm] sondern [mm] H_{dR}^0(M)= \mathbb{R}. [/mm] Es ist aber wegen den Überlegungen bisher [mm] H_{dR}^i( \mathbb{R}^n)= [/mm] 0 für i>0. für i=0 gilt: df=0 (Ableitung von f) [mm] \gdw [/mm] f ist konstant, wobei f eine 0-Form, dh eine Funktion ist. Eine exakte 0-Form wäre eine -1-Form, das gibts aber nicht, dh keine Funktion kann exakt sein. [mm] H_{dR}^0( \mathbb{R}^n) [/mm] :=IR-Vektorraum der geschlossenen k-Formen auf [mm] \mathbb{R}^n [/mm] /IR-Vektorraum der exakten k-Formen auf [mm] \mathbb{R}^n =\{konstante Funktion\}/0=\mathbb{R}. [/mm] Und halt dann entsprechend ist das hier das, was du da auf wikipedia gelesen hast, für [mm] M=\mathbb{R}^n.
[/mm]
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ookey =) Gibt es dann eigentlich einen Unterschied in den Kohomologiegruppen für $ M = [mm] \IR^n [/mm] $ und $ M = [mm] \{x \in \IR^n : |x|<1\} [/mm] $? Ich seh da jetzt erstmal keinen, sind ja beide sternförmig!
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Hi
genau, da gibts in der Tat keinen Unterschied, [mm] \mathbb{R}^n [/mm] und [mm] M=\{x\in\mathbb{R}^n: |x|<1\} [/mm] sind homöomorph.
Bzw falls du das Konzept nicht kennst, geht die Argumentation für M genauso.
Lg
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