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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Di 27.03.2007 | | Autor: | brodo |
| Aufgabe | Untersuchen Sie:
[mm] \limes_{x\rightarrow3}\bruch{(-4x³+20x²-24x)\cdot\sin(4-x)}{(7x²+56x-231)\cdot\lg(2x)} [/mm] |
Mein Lösungsansatz:
Beim einsetzen von 3 ergibt sich ein uneigentlicher Grenzwert der Form [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Anwendung der Regel von De'Hospital:
Zunächst Ableitung des Zählers:
[mm] u(x)=(-4x³+20x²-24x)\cdot\sin(4-x)
[/mm]
[mm] u'(x)=(-12x²+40x-24)\cdot\sin(4-x)+(-4x³+20x²-24x)\cdot\cos(4-x)
[/mm]
Dann Ableitung des Nenners:
v(x)=(7x²+56x-231)lg(2x)
[mm] v'(x)=(14x+56)lg(2x)+(7x²+56x-231)\cdot\bruch{1}{x*ln(10)}
[/mm]
3 im Zähler eingesetzt:
[mm] -12\sin(1)
[/mm]
3 im Nenner eingesetzt:
[mm] 98\cdot\lg(6)
[/mm]
Da käme ich dann auf den Grenzwert:
[mm] \bruch{-12\sin(1)}{98\cdot\lg(6)}
[/mm]
Und der sieht doch recht unschön aus. (Wo) hab ich mich da verrechnet?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Di 27.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Untersuchen Sie:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow3}\bruch{(-4x³+20x²-24x)\cdot\sin(4-x)}{(7x²+56x-231)\cdotlg(2x)}[/mm]
> Mein Lösungsansatz:
> Beim einsetzen von 3 ergibt sich ein uneigentlicher
> Grenzwert der Form [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
>
> Anwendung der Regel von De'Hospital:
>
> Zunächst Ableitung des Zählers:
>
> [mm]u(x)=(-4x³+20x²-24x)\cdot\sin(4-x)[/mm]
>
> [mm]u'(x)=(-12x²+40x-24)\cdot\sin(4-x)+(-4x³+20x²-24x)\cdot\cos(4-x)[/mm]
Du hast die innere Ableitung von sin(4-x) vergessen, also -1.
> Dann Ableitung des Nenners:
>
> v(x)=(7x²+56x-231)lg(2x)
wo kommt der Logarithmus plötzlich her?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Di 27.03.2007 | | Autor: | brodo |
Argh- Sorry der mm-code in der aufgabenstellung stimmt nicht. Ich änder das sofort.
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Hallo brodo!
Bei der [mm] $\lg$-Ableitung [/mm] hats du auch noch die innere Ableitung $*2_$ vergessen: [mm] $\left[ \ \lg(2x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2x*\ln(10)}*2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x*\ln(10)}$
[/mm]
Es geht auch mit  Logarithmusgesetz:
[mm] $\lg(2*x) [/mm] \ = \ [mm] \lg(2)+\lg(x)$ $\Rightarrow$ $\text{Ableitung} [/mm] \ = \ [mm] 0+\bruch{1}{x*\ln(10)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x*\ln(10)}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Di 27.03.2007 | | Autor: | brodo |
Danke für den Hinweis! Leider ändert das allerdings nichts an dem seltsamen Ergebnis.
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> Danke für den Hinweis! Leider ändert das allerdings nichts
> an dem seltsamen Ergebnis.
Das Ergebnis ist nicht seltsam - es ist deinem gar nicht so unähnlich:
[mm] $-\bruch{6*\sin(1)*\ln(10)}{49*\ln(6)}\approx [/mm] -0{,}13241$
Du hast anscheinend nur kleine Flüchtigkeitsfehler eingebaut. Rechenwege?
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 27.03.2007 | | Autor: | brodo |
Uiuiui, wie kommst du denn auf das Ergebnis? Zeig mal bitte deine Ableitungen. So mit eingesetzten Ergebnissen sieht man nicht so viel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Di 27.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo,
Dein GW ist einfach richtig, ich hab nicht nachgelesen, was die anderen alles geschrieben haben! aber es ist auch einfacher auszurechnen!
Falls der GW existiert (und das zeigst du ja dann, kannst du ihn aufteilen:
einfacher auszurechnen!
Falls der GW existiert (und das zeigst du ja dann, kannst du ihn aufteilen:
[mm]\limes_{x\rightarrow3}\bruch{(-4x³+20x²-24x)\cdot\sin(4-x)}{(7x²+56x-231)\cdot\lg(2x)}[/mm]=
[mm] \limes_{x\rightarrow3}\bruch{(-4x³+20x²-24x)}{(7x²+56x-231)}*\limes_{x\rightarrow3}\bruch{(sin(4-x)}{lg(2x)}[/mm]
[/mm]
der rechte Teil ist bei x=3 brav, also musst du nur den 1. Teil behandeln! (geht mit L'Hopital, oder kuerzen durch x-3)
Das Ergebnis ist dasselbe, naemlich deins. da fuer den GW der ln und der sin keine Rolle spielen (nur fuer den Wert) bleiben die eben als bloede Zahlen stehen.
GW muessen nicht immer was einfaches sein!! ausser im Schulunterricht sind GW meist recht krumme Dinger!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mi 28.03.2007 | | Autor: | brodo |
Danke! Wenn man es aufteilt geht es ja wirklich sehr einfach. Kann man das auch bei Summen machen?
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Hallo brodo,
ja das klappt auch bei Summen und bei der Division, falls der GW des Nenners [mm] \ne [/mm] 0 ist.
Aber wie ledurard schon ausdrücklich gesagt hat, musst du streng genommen "das Pferd von hinten aufzäumen".
Bsp.: du weißt, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x)=a [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}g(x)=b [/mm] ist.
[mm] \bold{Dann} [/mm] ist [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x)\pm g(x)=a\pm [/mm] b und [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}f(x)\cdot{}g(x)=a\cdot{b} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b} [/mm] , falls [mm] b\ne [/mm] 0
Nichts anderes hast du in der Aufgabe gemacht. Leduards Begründung ist quasi rückwärts zu lesen: erst mit der Existenz der "Einzel-GW" existiert der GW der "Komposition", dh. ohne zu wissen, dass der GW der "Komposition" existiert, darfst du ihn nicht zerlegen
Ich kann es leider nicht besser ausdrücken. hoffe, dass es aber einigermaßen verständlich ist ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Schau doch mal in dein Skript zum Thema "Rechnen mit GW" bei Folgen oder Funktionen oder so
Gruß
schachuzipus
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