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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:05 Do 18.10.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
kann man die de moran gesetze angewandt auf aussagen (und nicht auf mengen) eigentlich auch streng formal ohne warheitstabellen beweisen? rein aus den axiomen der booleschen algebra gelingt mir das irgendwie nicht, müsste aber eigentlich mögich sein.
wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte :)
gruß ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Do 18.10.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo
deine frage interssiert mich sehr, wenn gleich ich bisher nicht viel mit Boolscher Algebra gearbeitet habe. Aber zusammen sollten wir es schaffen. Willst du wirklich nur auf die Axiome zurückgreifen, oder hast du nicht schon einige Regeln bewiesen (etwa doppeltes Kompliment oder Dominanzgesetz o.ä.)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Do 18.10.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
das sollte schon möglich sein, poste doch mal das Axiomensystem, das Du verwenden wolltest - es gibt da nämlich ein paar verschiedene (aber letztenendes gleichwertige) Alternativen.
Gruß
piet
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:19 Do 18.10.2007 | | Autor: | AriR |
von mir aus lass das hier nehmen:
(1) kommutativ gesetz
(2) assoziativ gesetz
(3) distributiv gesetz
(4) [mm] a\wedge1=1 [/mm] , [mm] a\vee0=a
[/mm]
(5) [mm] a\wedge\neg [/mm] a=0 , [mm] a\vee\neg [/mm] a=1
(6) [mm] a\vee(a\wedge [/mm] b)=a , [mm] a\wedge(a\vee [/mm] b)=a
müsste passen oder? mit denen habe ich es auf jeden fall versucht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 20.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Di 23.10.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
möchte etwas (sehr) spät doch noch antworten.
Der Vollständigkeit halber möchte ich darauf hinweisen, dass sich im Axiomensystem wohl ein Schreibfehler eingeschlichen hat. Ich denke in Punkt (4) soll es heißen:
(4) [mm]a\wedge1=a[/mm] , [mm]a\vee0=a[/mm]
Um mir die Tipparbeit zu erleichtern, schreibe ich (wie auch teilweise üblich) ab für a [mm] \wedge [/mm] b und a+b für a [mm] \vee [/mm] b und [mm] \overline{a} [/mm] für [mm] \neg [/mm] a.
Beh.: [mm] \overline{a+b} [/mm] = [mm] \overline{a}\overline{b} [/mm] de Morgan (1.Gleichung)
Dazu beweise ich erst einige Hilfsbehauptungen:
(1) 0a =0
Bew.: 0a = 0(a+0) = 0(0+a) = 0 (nach Axiom (4) u. (6) ))
(2) 1 + a = 1
Bew.: 1 + a = 1 + 1a = 1
(3) Das Komplement ist eindeutig; d.h.:
Gibt es zu a ein b mit ab=0 und a+b=1 so ist b = [mm] \overline{a}
[/mm]
Bew.:
(*) b = b+0 = [mm] b+a\overline{a} [/mm] = [mm] (b+a)(b+\overline{a}) [/mm] = [mm] 1(b+\overline{a})= b+\overline{a}
[/mm]
Das das 3. Gleichheitszeichen gilt wegen des Distributivgesetzes.
(**) b = b1 = [mm] b(a+\overline{a}) [/mm] = [mm] ba+b\overline{a} [/mm] = [mm] 0+b\overline{a} [/mm] = [mm] b\overline{a}
[/mm]
Aus (*) und (**) folgt nun:
b = b [mm] +\overline{a} [/mm] = [mm] b\overline{a}+\overline{a} [/mm] = [mm] \overline{a}
[/mm]
1. Gleichheitszeichen wegen (*), 2. Gleichheitszeichen wegen (**), 3. Gleichheitszeichen wegen Axiom (6).
Nun zum eigentlichen Beweis von de Morgan:
Es ist: [mm] (a+b)\overline{a}\overline{b} [/mm] = [mm] a\overline{a}\overline{b}+b\overline{a}\overline{b} [/mm] = [mm] 0\overline{b}+0\overline{a} [/mm] = 0+0 = 0
Außerdem ist: [mm] (a+b)+\overline{a}\overline{b} [/mm] = [mm] ((a+b)+\overline{a})((a+b)+\overline{b}) [/mm] = [mm] (1+b)(1+\overline{b}) [/mm] = 1
Jetzt folgt wegen der Eindeutigkeit des Komplements, dass [mm] \overline{a}\overline{b} [/mm] das Komplement von a+b ist also:
[mm] \overline{a+b} [/mm] = [mm] \overline{a}\overline{b} [/mm] qed
Die 2. Gleichung von de Morgan müsste analog zu zeigen sein.
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 18.10.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo
die Gesetze von de Morgan folgen aus der Eindeutigkeit des Komplements. Wurde die schon (in der Vorlesung) aus den Axiomen bewiesen oder müssen wir das noch beweisen?
Guß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Fr 19.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich habe keine vorlesung dazu.. mache das selber einfach nur so. wäre super, wenn wir das noch machen könnten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Fr 19.10.2007 | | Autor: | korbinian |
gerne. Muss aber jetzt leider noch einkaufen. Bis bald
Gruß korbinian
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