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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 So 01.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Für x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt:
||x| - [mm] |y||\le [/mm] |x-y| |
Hallo;
ich hänge gerade an dieser Aufgabe
mir ist klar das:
[mm] |x|-|y|\le|x-y|
[/mm]
x=(x-y)+y
mit Dreiecksungleichung
[mm] |x|\le [/mm] |x-y|+|y|
wir addieren auf beiden Seiten -|y|
[mm] |x|-|y|\le|x-y|
[/mm]
so das hab ich bis jz hinbekommen aber da ist ja noch ein Betrag und denn krieg ich nicht unter:S
würde mich freuen, wenn mir jmd ein tipp geben könnte
ich bedanke mich im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 So 01.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Melisa!
> Beweisen Sie: Für x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt:
>
> ||x| - [mm]|y||\le[/mm] |x-y|
> Hallo;
>
> ich hänge gerade an dieser Aufgabe
>
> mir ist klar das:
>
> [mm]|x|-|y|\le|x-y|[/mm]
>
> x=(x-y)+y
>
> mit Dreiecksungleichung
>
> [mm]|x|\le[/mm] |x-y|+|y|
>
> wir addieren auf beiden Seiten -|y|
>
>
> [mm]|x|-|y|\le|x-y|[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ich würde das nur anders aufschreiben
[mm] $|x|=|x-y+y|\leq|x-y|+|y|\Rightarrow |x|-|y|\leq|x-y|$
[/mm]
> so das hab ich bis jz hinbekommen aber da ist ja noch ein
> Betrag und denn krieg ich nicht unter:S
>
> würde mich freuen, wenn mir jmd ein tipp geben könnte
>
Nun führe obiges Schema noch mal für $|y|$ durch. Denke an die Symmetrie des Betrages und du erhälst:
[mm] |y|-|x|\leq [/mm] |x-y|
nun mußt du nur noch wissen:
$-x<a$ und $x<a [mm] \Rightarrow [/mm] |x|<a$
> ich bedanke mich im voraus
>
> Lg Melisa
Gruß iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 So 01.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo
sry aber ich versteh nicht, warum ich das jz auch nochmal für y machen muss und wo kommt das a jz auf einmal her so eine regel hatten wir in der vorlesung noch nicht :S
>
> Nun führe obiges Schema noch mal für [mm]|y|[/mm] durch. Denke an
> die Symmetrie des Betrages und du erhälst:
>
> [mm]|y|-|x|\leq[/mm] |x-y|
>
> nun mußt du nur noch wissen:
>
> [mm]-x
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 So 01.11.2009 | | Autor: | iks |
Hi Melissa!
>
> sry aber ich versteh nicht, warum ich das jz auch nochmal
> für y machen muss und wo kommt das a jz auf einmal her so
> eine regel hatten wir in der vorlesung noch nicht :S
> >
> > Nun führe obiges Schema noch mal für [mm]|y|[/mm] durch. Denke an
> > die Symmetrie des Betrages und du erhälst:
> >
> > [mm]|y|-|x|\leq[/mm] |x-y|
> >
Da ausklammern die Ungleichung nicht ändert klammere doch mal $(-1)$ auf der linken Seite aus. Dann ist:
$-(-|y|+|x|)=-(|x|-|y|)$
Wird dir der Zusammenhang mit der unten stehenden Ungleichung jetzt klarer?
> > nun mußt du nur noch wissen:
> >
> > [mm]-x
>
>
Das ist doch nur die Definition des Betrages auf eine Ungleichung angewendet. Ich wollte die Formulierung jedoch so allgemein wie möglich halten. Vllt hätt ich schreiben sollen:
Für $a,b [mm] \in\IR [/mm] $ gilt: Aus $-a<b$ und $a<b$ folgt $|a|<b$.
Einsichtig ist die Ungleichung doch oder?
mFg iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 01.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
heißt
> > nun mußt du nur noch wissen:
> > >
> > > [mm]-x
> >
> >
>
das der Betrag (hier rot) |$ |x|-|y| $ | keine Bedeutung hat weil
||x||=|x| d.h. in unserem Bespiel ||x|-|y||= |x|-|y|
ohhh man ich steh wieder total aufm schlauch :S peinlich peinlichhh
Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 So 01.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
wollte nur schreiben das ich die Aufgabe jz gelöst habe
Es gilt : [mm] |x|=|x-y+y|\leq|x-y|+|y|\Rightarrow |x|-|y|\leq|x-y| [/mm] und
[mm] |y|=|y-x+x|\leq|x-y|+|x|\Rightarrow |y|-|x|\leq|x-y| [/mm]
Hieraus folgt:
[mm] \pm(|x|-|y|)\leq|x-y|
[/mm]
also [mm] ||x|-|y||\leq|x-y|
[/mm]
stimmt so oder?
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 So 01.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
ich glaube ich habe die Aufgabe gelöst
Es gilt : [mm] |x|=|x-y+y|\leq|x-y|+|y|\Rightarrow |x|-|y|\leq|x-y| [/mm] und
[mm] |y|=|y-x+x|\leq|x-y|+|x|\Rightarrow |y|-|x|\leq|x-y| [/mm]
Hieraus folgt:
[mm] \pm(|x|-|y|)\leq|x-y|
[/mm]
also [mm] ||x|-|y||\leq|x-y|
[/mm]
stimmt so oder?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 01.11.2009 | | Autor: | iks |
> Hallo;
>
> ich glaube ich habe die Aufgabe gelöst
>
> Es gilt : [mm]|x|=|x-y+y|\leq|x-y|+|y|\Rightarrow |x|-|y|\leq|x-y|[/mm]
> und
>
> [mm]|y|=|y-x+x|\leq|x-y|+|x|\Rightarrow |y|-|x|\leq|x-y|[/mm]
>
> Hieraus folgt:
> [mm]\pm(|x|-|y|)\leq|x-y|[/mm]
>
> also [mm]||x|-|y||\leq|x-y|[/mm]
>
> stimmt so oder?
> Lg Melisa
Sieht gut aus!
mFg iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 02.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Aufgabe b)
Beweisen Sie: Für x,y,v,u [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] ||x-y|-|u-v||\le|x-u|+|v-y|
[/mm]
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Hallo;
ich habe mir überlegt:
|x-y|-|u-v|=|x-y+u-u|-|u-v+y-y|=|x-u|+|y+u|-|u+y|+|-v-y]=|x-u|+|-v-y|
das Problem ist das da ja +v stehen muss und das [mm] \le [/mm] Zeichen so wie der Betrag um |x-y|-|u-v| fehlen mir auch noch :S
ich bin für jede Hilfe dankbar
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mo 02.11.2009 | | Autor: | iks |
Hi Melissa! Willkommen zurück...
> Aufgabe b)
>
> Beweisen Sie: Für x,y,v,u [mm]\in \IR[/mm] gilt:
>
> [mm]||x-y|-|u-v||\le|x-u|+|v-y|[/mm]
>
> Hallo;
>
> ich habe mir überlegt:
>
> |x-y|-|u-v|=|x-y+u-u|-|u-v+y-y|=|x-u|+|y+u|-|u+y|+|-v-y]=|x-u|+|-v-y|
>
Ja die Aufgabe a) verführt zu diesem Schritt bringt dich aber ersteinmal nicht weiter. Übrigens stimmt deine Aussage oben nicht
1) wenn du die Dreiecksungleichung anwendest sollte da auch irgendwas ungleich sein
2) besonders vorsichtig solltest du sein, wenn du Differenzen mit der Dreiecksungleichung abschätzen willst das geht meist schief
Darum ist es besser den zweiten Betrag ersteinmal aussenvor zu lassen und im ersten das hinzuschustern, was wir gerne hätten oder zumindest soweit es möglich ist. Als nächstes tauschen wir einfach die Positionen der Beträge und machen den Rest - du hast dann zwei Ungleichungen, die du miteinander addieren oder subtrahieren kannst mal schauen was da günstig ist.
> das Problem ist das da ja +v stehen muss und das [mm]\le[/mm]
> Zeichen so wie der Betrag um |x-y|-|u-v| fehlen mir auch
> noch :S
>
> ich bin für jede Hilfe dankbar
>
hier der erste Tipp:
du hast wieder die Varianten
[mm] $|x-y|-|u-v|\leq\cdots$ [/mm] und [mm] $-(|x-y|-|u-v|)=|u-v|-|x-y|\leq\cdots$
[/mm]
in der ersten Ungleichung fummelst du dir den Teil $|x-u|$ wie gehabt zurecht - in der zweiten dann den Teil $|v-y|$.
Dann mußt du mal schauen. ob du die jeweiligen Seiten der beiden entstandenen Ungleichungen besser addierst oder subtrahierst.
Dann nur noch mal ein klein wenig umformen und a) anwenden.
mFg iks
PS: ich lass mal die Rechnung an meiner kleinen Tafgel zum Vergleich stehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 02.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
ich habe jz
[mm] |x-y|-|u-v|=|x-y+u-u|-|u-v|\le|x-u|-|y+u|-|u-v|
[/mm]
und
[mm] |u-v|-|x-y|=|u-v+y-y|-|x-y|\le [/mm] |u+y|-|v-y|+|x-y|
so wenn das bis hierhin stimmt muss ich jz |x-u|-|y+u|-|u-v| und |u+y|-|v-y|+|x-y| addieren oder subtrahieren?
(Ps was meinst du mit Tafgel?)
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 02.11.2009 | | Autor: | iks |
> Hallo;
>
> ich habe jz
>
> [mm]|x-y|-|u-v|=|x-y+u-u-|u-v|\le|x-u|-|y+u|-|u-v|[/mm]
>
hmm. aufpassen!!
Wie du siehst
[mm] $|x-y|-|u-v|=\underline{|x-u+u-y|}-|u-v|\le|x-u|?-?|y+u|-|u-v|$
[/mm]
habe ich im unterstrichenen Betrag die Reihenfolge ein wenig geändert, damit der Fehler zwischen den Fragezeichen deutlicher wird.
Außerdem wird durch das Umschreiben auch die Lesbarkeit für den Korrektor verbessert, der dann viel bereutwilliger die Punkte verteilt.
> und
>
> [mm]|u-v|-|x-y|=|u-v+y-y|-|x-y|\le[/mm] |u+y|-|v-y|+|x-y|
>
Uh.. der selbe Fehler nochmal [grübel] die Dreiecksungleichung lautet [mm] $|x+y|\leq|x|+|y|$...
[/mm]
> so wenn das bis hierhin stimmt muss ich jz
> |x-u|-|y+u|-|u-v| und |u+y|-|v-y|+|x-y| addieren oder
> subtrahieren?
>
Wenn du die Fehler berichtigt hast kannst du doch beide Varianten mal ausprobieren nur eine sollte zu Ziel führen (welche fällt besonders dann auf, wenn mann sich die beiden rechten Seiten mal ganz scharf anschaut und noch im Kopf hat wo man hin will).
Ah so und beide Seiten jeweils voneinander addisubtieren.
> (Ps was meinst du mit Tafgel?)
Das ist das Ding an dem ich mit meinem Stifgt die Afgaben notiere.
Gruß iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Di 03.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
so nochmal jz sollte es stimmen (hoffe ich)
$ [mm] |x-y|-|u-v|=|x-u+u-y|-|u-v|\le|x-u|+|u-y|-|u-v| [/mm] $
und
[mm] |u-v|-|x-y|=|u-y+y-v|-|x-y|\le [/mm] |u-y|+|y-v|-|x-y|
soo jz muss ich sehn, welche von beiden mir hier nützlich sind und dann bei der, für die ich mich entscheide, beide Seiten von einander addieren oder subtrahieren.
hab ich das jz richtig verstanden?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Di 03.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Melissa!
Nun alles von vorn - habe nämlich deinen Ansatz mit der Aufgabe verwexselt. Zu zeigen ist ja [mm] $||x-y|-|u-v||\leq|x-u|+|v-y|$ [/mm] und das geht noch sehr sehr viel einfacher.
[mm] $||x-y|-|u-v||\leq|x-y-u+v|=|x-u+v-y|\leq|x-u|+|v-y|$
[/mm]
und fertig. Die [mm] $\leq$'s [/mm] mußt du natürlich noch begründen.
mFg iks
PS: Da die andere Aufgabe nun aber so schön war und wir uns schon ne Weile damit beschäftigten noch schnell die Lösung dazu.
> Hallo;
>
> so nochmal jz sollte es stimmen (hoffe ich)
>
> [mm]|x-y|-|u-v|=|x-u+u-y|-|u-v|\le|x-u|+|u-y|-|u-v|[/mm]
>
> und
>
> [mm]|u-v|-|x-y|=|u-y+y-v|-|x-y|\le[/mm] |u-y|+|y-v|-|x-y|
>
Gut soweit!
Habe nur vergessen dir zu sagen, dass wir einen kleinen Umweg machen.
und der geht so:
[mm] $|x-y|-|u-v|\leq|x-u|-|v-y|\leq||x-u|+|v-y|$ [/mm] Habe dies mit der Aufbabe verwexselt
[mm] $|x-u|-|v-y|\leq||x-u|+|v-y|$ [/mm] gilt offensichtlich
bleibt also [mm] $|x-y|-|u-v|\leq|x-u|-|v-y|$ [/mm] zu zeigen, damit die Kette richtig ist und daran arbeiten wir ja schon seit ein-zwei Mitteilungen. Sry wegen meiner Schusslichkeit.
Also weiter....
> soo jz muss ich sehn, welche von beiden mir hier nützlich
> sind und dann bei der, für die ich mich entscheide, beide
> Seiten von einander addieren oder subtrahieren.
>
Beide Ungleichungen sind nützlich. du hast:
[mm] \quad$|x-y|-|u-v|\leq|x-u|+|u-y|-|u-v|$
[/mm]
[mm] $-|x-y|+|u-y|\leq|v-y|+|y-u|-|x-y|$
[/mm]
Desweiteren gilt doch für das Rechnen mit Ungleichungen:
Sind [mm] $a,b,c,d\in\IR$ [/mm] mit [mm] $a\leq b,c\leq [/mm] d$, so ist auch [mm] $a\pm [/mm] c< [mm] b\pm [/mm] d$.
Also ist
[mm] $|x-y|-|u-v|-(-|x-y|+|u-y|)\leq|x-u|+|u-y|-|u-v|-(|v-y|+|y-u|-|x-y|)$
[/mm]
ergibt:
[mm] $2|x-y|-2|u-v|\leq|x-u|-|v-y|+|x-y|-|u-v|$ [/mm] addition von $|u-v|-|x-y|$ bringt dann die Lösung.
mFg iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 04.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
haha super jz haben wir uns eine eigene Aufgabe entwickelt ( ist ja nicht schlimm war eine neue Übung :) )
alsoo es reicht ja
> Aufgabe verwexselt. Zu zeigen ist ja
> [mm]||x-y|-|u-v||\leq|x-u|+|v-y|[/mm] und das geht noch sehr sehr
> viel einfacher.
>
> [mm]||x-y|-|u-v||\leq|x-y-u+v|=|x-u+v-y|\leq|x-u|+|v-y|[/mm]
>
> und fertig. Die [mm]\leq[/mm]'s mußt du natürlich noch
> begründen.
reicht es zu sagen, dass das erste aus aufgabe a folgt und das zweite aus der dreiceksungleichung?
Lg melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mi 04.11.2009 | | Autor: | iks |
> Hallo;
>
> haha super jz haben wir uns eine eigene Aufgabe entwickelt
> ( ist ja nicht schlimm war eine neue Übung :) )
>
> alsoo es reicht ja
>
>
> > Aufgabe verwexselt. Zu zeigen ist ja
> > [mm]||x-y|-|u-v||\leq|x-u|+|v-y|[/mm] und das geht noch sehr sehr
> > viel einfacher.
> >
> > [mm]||x-y|-|u-v||\leq|x-y-u+v|=|x-u+v-y|\leq|x-u|+|v-y|[/mm]
> >
> > und fertig. Die [mm]\leq[/mm]'s mußt du natürlich noch
> > begründen.
>
> reicht es zu sagen, dass das erste aus aufgabe a folgt und
> das zweite aus der dreiceksungleichung?
>
>
> Lg melisa
Hi Melissa!
Ich bin ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]") , dass das ausreicht.
Gruß iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Do 05.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
danke nochmal für deine Hilfe
Lg Melisa
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