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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - der Ring \IQ [X] der Polynome
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der Ring \IQ [X] der Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Sa 07.06.2008
Autor: jura

Aufgabe
Betrachtet werde der Ring [mm] \IQ [/mm] [X] der Polynome in einer Unbestimmten über [mm] \IQ. [/mm]
a) Geben Sie das Einselement und die Einheiten in der [mm] \IQ [/mm] [X] an.
b) Bestimmen Sie ein zum Polynom [mm] p(X)=-\bruch{3}{4} X^5+2X^3+\bruch{7}{20}X^2-\bruch{4}{15}X-\bruch{1}{2} [/mm] assoziiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.
c) Zeigen Sie, dass es zu jedem Polynom p(X) [mm] \in \IQ [/mm] [X] ein Polynom q(X) [mm] \in \IQ [/mm] [X] mit ganzzahligen Koeefizienten gibt, das zu p(X) assoziiert ist.
d) Zeigen Sie, dass es zu jedem vom Nullpolynom verschiedenen Polynom p(X) [mm] \in \IQ [/mm] [X] ein zu ihm assoziiertes Polynom s(X) [mm] \in \IQ [/mm] [X] gibt, dessen Koeffizient bei der höchsten Potenz von X gleich EIns ist.

allgemein schreibe ich für den ring zunächst [mm] p(X)=a_0+a_1X+a_2X²+...+a_nX^n. [/mm]

a) für das einselement ersetze ich nun [mm] a_1,a_2,...,a_n=0 [/mm] und [mm] a_0=1 [/mm]
und erhalte so p(X)=1. oder setze ich alle [mm] a_n=1??? [/mm]
und wie errechne ich dann die einheiten, ist in [mm] \IQ [/mm] nicht jedes element durch jedes teilbar?
b)c) d) was bedeutet überhaupt "assoziiertes polynom"??
auch bei diesen teilaufgaben wär ich froh über jede hilfe, aber am besten, wir beginnen erstmal mit a)...
gruß un dank.

        
Bezug
der Ring \IQ [X] der Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Sa 07.06.2008
Autor: Merle23


> Betrachtet werde der Ring [mm]\IQ[/mm] [X] der Polynome in einer
> Unbestimmten über [mm]\IQ.[/mm]
>  a) Geben Sie das Einselement und die Einheiten in der [mm]\IQ[/mm]
> [X] an.
>  b) Bestimmen Sie ein zum Polynom [mm]p(X)=-\bruch{3}{4} X^5+2X^3+\bruch{7}{20}X^2-\bruch{4}{15}X-\bruch{1}{2}[/mm]
> assoziiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.
>  c) Zeigen Sie, dass es zu jedem Polynom p(X) [mm]\in \IQ[/mm] [X]
> ein Polynom q(X) [mm]\in \IQ[/mm] [X] mit ganzzahligen Koeefizienten
> gibt, das zu p(X) assoziiert ist.
>  d) Zeigen Sie, dass es zu jedem vom Nullpolynom
> verschiedenen Polynom p(X) [mm]\in \IQ[/mm] [X] ein zu ihm
> assoziiertes Polynom s(X) [mm]\in \IQ[/mm] [X] gibt, dessen
> Koeffizient bei der höchsten Potenz von X gleich EIns ist.
>  allgemein schreibe ich für den ring zunächst
> [mm]p(X)=a_0+a_1X+a_2X²+...+a_nX^n.[/mm]
>  
> a) für das einselement ersetze ich nun [mm]a_1,a_2,...,a_n=0[/mm]
> und [mm]a_0=1[/mm]
>  und erhalte so p(X)=1. oder setze ich alle [mm]a_n=1???[/mm]
>  und wie errechne ich dann die einheiten, ist in [mm]\IQ[/mm] nicht
> jedes element durch jedes teilbar?

p(X) = 1 ist richtig. Rechne einfach nach.... q(x)*p(x)=q(x)*1=q(x).
In [mm] \IQ [/mm] ja, aber du bist hier in [mm] \IQ[X]..... [/mm] X+1 ist z.B. nicht durch X teilbar.

>  b)c) d) was bedeutet überhaupt "assoziiertes polynom"??

Schau in deinem Skript nach... irgendwo muss da die Definition von assoziierten Elementen in Ringen stehen. Oder schau in Wikipedia nach... []assoziierte Elemente.

>  auch bei diesen teilaufgaben wär ich froh über jede hilfe,
> aber am besten, wir beginnen erstmal mit a)...
>  gruß un dank.

Bezug
                
Bezug
der Ring \IQ [X] der Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:11 Sa 07.06.2008
Autor: jura

gut, danke!
und wie sehen nun die einheiten aus? das können doch alle p(X) sein, bei denen [mm] a_1,a_2,...,a_n=0 [/mm] und [mm] a_0 [/mm] beliebig ist, oder?

Bezug
                        
Bezug
der Ring \IQ [X] der Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 So 08.06.2008
Autor: Merle23


> gut, danke!
>  und wie sehen nun die einheiten aus? das können doch alle
> p(X) sein, bei denen [mm]a_1,a_2,...,a_n=0[/mm] und [mm]a_0[/mm] beliebig
> ist, oder?

Ja, wobei du [mm] a_0 [/mm] = 0 (also das Nullpolynom) noch ausschliessen musst.

Bezug
                                
Bezug
der Ring \IQ [X] der Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 So 08.06.2008
Autor: jura

ja, an das nullpolynom hatte ich ja sogar selbst schon gedacht, nur eben faulerweise nicht mit aufgeführt...
kannst du mir noch einen tipp geben, wie ich zb bei teilaufgabe b) vorgehe? wie kann man das ganze rechnerisch lösen?
gruß und dank!

Bezug
                                        
Bezug
der Ring \IQ [X] der Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Mo 09.06.2008
Autor: Merle23

Wenn du das gegebene Polynom mit einer Einheit multiplizierst, dann erhälst du ein dazu assoziiertes Polynom.
Die Einheiten hast du schon ausgerechnet. Du musst also bloß noch eine Einheit finden, so dass das assoziierte Polynom dann ganzzahlige Koeffizienten hat.

Bezug
                                                
Bezug
der Ring \IQ [X] der Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Mo 09.06.2008
Autor: jura

ah, gut, danke: ich habe 60 als einheit gewählt und erhalte somit ja [mm] -45X^5+120X^3+21X²-16X-30 [/mm] als polynom, das ausschließlich ganzzahlige koeffizienten aufweist.
dadurch ist mir eigentlich auch ganz gut veranschaulicht worden, dass es zu jedem polynom ein assoziiertes gibt, welches ganzzahlig ist. doch wie soll ich das bei c) denn "mathematisch korrekt" zeigen???
danke für nen weiteren tipp...

Bezug
                                                        
Bezug
der Ring \IQ [X] der Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Mo 09.06.2008
Autor: anstei

Gleich wie bei b)! Nur willst dieses mal die Einheit so wählen, dass [mm] a_n [/mm] multiplizert mit dieser Einheit 1 ist, statt dass alle Koeffizienten ganz sind.

Bezug
                                                                
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der Ring \IQ [X] der Polynome: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 18:21 Mo 09.06.2008
Autor: Merle23

Du hast bzgl. Teilaufgabe d) geantwortet. Es ging ihm aber um Teilaufgabe c).

Zu der c).... du musst ja bloß den Hauptnenner bilden (wobei das schon viel zu viel ist... es reicht ja, wenn du mit allen Nennern, die vorkommen, komplett durchmultiplizierst).

Bezug
                                                                
Bezug
der Ring \IQ [X] der Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:54 Di 10.06.2008
Autor: jura

ja cool, ich hab das diesmal sogar hingekriegt (obwohl ich mich eben bei der verallgemeinerung und mathematischer schreibweise immer voll schwer tue)!
dann nochmal besten dank an euch!!!

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