det A < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Fr 14.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | | Sei A = [mm] (a_{ij}) [/mm] eine (n x n) -Matrix. Zeigen Sie : det [mm] ((-1)^{i+j} (a_{ij})) [/mm] = det A |
Hallo,
wäre n vorgegeben und damit die Matrix bekannt, würde ich niemand um Hilfe bitten. Doch wie kann allgemeingültig zeigen dass det [mm] ((-1)^{i+j} (a_{ij})) [/mm] = det A für jede beliebige quadratische Matrix gilt???
Hat jemand einen Lösungsansatz für mich??? Würde mich sehr darüber freuen.
Viele Grüße und besten Dank inm Voraus
Didi_160
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Wenngleich ich nicht ganz verstehe, was [mm] $((-1)^{i+j} (a_{ij}))$ [/mm] sein soll:
Wenn du das für bestimmte n zeigen kannst, solltest du doch mittels der Entwicklungssätze für Determinanten zeigen können, daß das auch für n+1 gilt, oder?
ich meine, das riecht förmlich nach Induktionsbeweis!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:49 Sa 15.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
besten Dank für deinen Tipp.
> mittels der Entwicklungssätze für Determinanten
Davon habe ich noch nichts gehört. Kannst du mal den Anfang aufschreiben?
Besten Dank im Voraus
Gruß didi
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Eigentlich meine ich damit diese ganzen Methoden, wie man generell Matrizen berechnen kann. Aber kannst du mir mal die Bedeutung des terms erklären?
Mir ist grade die Idee gekommen, daß dieser Term schachbrettartig das Vorzeichen in der Matrix wechselt, aber das verändert den Wert der Determinante schon bei 2x2. Nur, anders kann ich den Term nicht interpretieren.
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OK, danke, bastiane, Indizes sind manchmal nicht so übersichtlich...
Also, ich habs mir mal angeschaut, den Beweis formuliere ich jetzt nicht mathematisch sauber, aber ich denke, daß es klar wird.
Also: Für kleine n kann man das ja direkt zeigen, das wäre der Induktionsanfang.
Nun, in der folgenden Matrix stehen nur die Vorzeichen, die durch die Aufgabe erzeugt werden. Die richtigen Einträge denke man sich dazu.
[mm] $\vmat{+ & - & + & - & + \\ - & + & - & + & \ominus \\ + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & +}$
[/mm]
Man kann diese Matrix z.B. nach der letzten Spalte entwickeln. Beispielsweise gibt einem das markierte Element
[mm] $\ominus 1\cdot \vmat{+ & - & + & - \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & -}$
[/mm]
Also hat man hier plötzlich ein negatives Vorzeichen, das nicht da wäre, wenn dieses Schachbrettmuster nicht da wäre. (es geht nur um Vorzeichen, die das Muster erzeugt, die Vorzeichen von dem Entwicklungssatz beachte ich nicht, die sind aber immer da und haben keinen Einfluß.)
Allerdings ist nun auch das Schachbrettmuster weg. Man kann es beispielsweise wiederherstellen, indem man die unteren Zeilen mit -1 durchmultipliziert, das gibt einem auch stets ein -1 vor der Determinante:
[mm] $\ominus 1\cdot \left( -1\right) [/mm] ^{3} [mm] \vmat{+ & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & +}$
[/mm]
Jetzt hat man wieder das Schachbrettmuster, und vor der Determinante steht insgesamt wieder das positive Vorzeichen!
Und das passiert immer, egal, was für ein n man hat, und nach welcher Komponente man grade entwickelt!
Mit anderen Worten: Dieses Muster hat keinerlei Auswirkungen auf die einzelnen Summanden, wenn man die nxn-Determinante aus den (n-1)x(n-1)Determinanten entwickelt wird.
Man müßte das ganze nun noch etwas genauer betrachten und etwas genauer zeigen, daß das für grade und ungrade n gilt, und auch unabhängig davon, welches Element aus der letzten Spalte man denn nun nimmt.
Das wäre dann der Induktionsschritt gewesen, der zeigt, daß das zu beweisende gilt, wenn es schon für n-1 gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Sa 15.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
besten Dank für deinen Tipp. Ich habe mal alles zusammen geschrieben:
1. A= [mm] \pmat{ + & - & +& - & +\\ - & + & - & + & -\\+ & - & +& - & +\\- & + & - & + & -\\ + & - & +& - & +\\}
[/mm]
2. Entwicklung nach der letzten Zeile liefert:
det A = (1) [mm] \pmat{- & + & - & + \\+ & - & +& -\\ - & + & - & + \\+ & - & +& -\\}+ [/mm] (-1) [mm] \pmat{+ & - & +& -\\+ & - & +& - & \\- & + & - & + \\+ & - & + & -}
[/mm]
+(1) [mm] \pmat{+ & - & +& -\\+ & - & +& -\\+ & - & +& -\\+ & - & +& -}+(-1) \pmat{- & + & - & + \\+ & - & +& -\\ - & + & - & + \\+ & - & +& -\\}
[/mm]
3. Im 1.und 4. Summanden wird nach der Entwicklung wieder ein Schachbrettmuster erzeugt
4. Im 2. Summanden kann man wieder ein Schachbrettmuster erzeugen, wenn man die 2.,3. und 4. Zeile jeweis mit -1 durchmultipliziert:
[mm] (-1)*(-1)^3 \pmat{- & + & - & + \\+ & - & +& -\\ - & + & - & + \\+ & - & +& -\\}
[/mm]
5. Im 2. Summanden kann man wieder ein Schachbrettmuster erzeugen, wenn man die 3. und 4. Zeile jeweils mit -1 durchmultipliziert: [mm] (1)*(-1)^2 \pmat{- & + & - & + \\+ & - & +& -\\ - & + & - & + \\+ & - & +& -\\}
[/mm]
> Jetzt hat man wieder das Schachbrettmuster, und vor der
> Determinante steht insgesamt wieder das positive
> Vorzeichen!
Den Satz vertehe ich ehrlich nicht richtig. Meinst du: Unabhänig wie man den Wert der Determinante der 5x5 -Matrix mit dem Schachbrettmuster berechnet, man kommt immer auf auf den gleichen Wert???
>Man müßte das ganze nun noch etwas genauer betrachten und
> etwas genauer zeigen, daß das für grade und ungrade n gilt,
> und auch unabhängig davon, welches Element aus der letzten
> Spalte man denn nun nimmt.
Wie man das allgemeingültig zeigen kann weiß ich gar nicht. Kannst du den Anfang mal auschreiben?
Beste Grüße
didi_160
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Erstmal zu deinem zweiten Punkt:
Das ist eine 5x5-Matrix, die wird aus 5 4x4-Matrizen entwickelt. Das bedeutet, du hast einen Term vergessen.
Dann produziert das Schachbrettmuster das abwechelnde +- vor den Summanden. Beachte aber, daß der Entwicklungssatz selber auch ein abwechselndes +- erzeugt! Mach wie ich erstmal Kreise um die "Schachbrettvorzeichen". Du bekommst so zwei Vorzeichen vor den 4x4-Determinanten: Eines durch den Entwicklungssatz selber und eines duch das Vorzeichen der Komponente.
Deine Aufgabe besagt nun, daß das Schachbrettmuster keinen Einfluß auf den Wert der Determinante hat.
Aber: Bei der Entwicklung, die du da stehen hast, gibt es einerseits ein Vorzeichen (erzeugt duch das Muster) vor den 4x4-Determinanten, andererseits haben die 4x4-Determinanten nicht mehr das Schachbrettmuster (auch die erste nicht,weil sie kein + oben links hat!)
Du mußt nun zeigen, daß du einerseits das Muster wieder herstellen kannst, und andererseits das durch das Muster entstandene Vorzeichen verschwindet.
Dazu mußt du die Zeilen jeweils mit -1 durchmultiplizieren: Bei der ersten 4x4-Determinanten ALLE zeilen, bei der zweiten nur die letzten drei, dann die letzten zwei, dann nur die letzte, und bei der letzten mußt du es gar nicht tun. Diese Multiplikationen geben immer ein weiteren Faktor -1 vor der Determinante.
Und wie durch ein Wunder ergeben diese Faktoren zusammen mit dem Vorzeichen, das das Muster bei der Entwicklung erzeugte, stets +1. Und dies ist das, was du etwas genauer ausführen mußt.
Nochmal:
Ohne Muster siehts so aus:
[mm] $\vmat{a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i}=+c\vmat{d & e \\ g & h}-f\vmat{a & c \\ g & i}+i\vmat{a & b \\ d & e}$
[/mm]
Mit Muster siehts so aus:
[mm] $\vmat{\oplus a & \ominus b & \oplus c \\\ominus d & \oplus e & \ominus f \\\oplus g & \ominus h & \oplus i}=+(\oplus1) c\vmat{\ominus d & \oplus e \\ \oplus g & \ominus h}-(\ominus1) f\vmat{\oplus a & \ominus b \\ \oplus g & \ominus h}+(\oplus1) i\vmat{\oplus a & \ominus b \\ \ominus d & \oplus e}$
[/mm]
Das Muster erzeugt zusätzliche Vorzeichenfaktoren, die müssen weg. Das Wiederherstellen des Musters in den Determinanten bringt genau das mit sich.
Zum Beweis: Der Vorfaktor ist [mm] $(\ominus 1)^{i+j}$ [/mm] wobei i,j angeben, nach welchem Element grade entwickelt wird. Nun die Preisfrage: wie viele Zeilen mußt du mit -1 durchmultiplizieren, um das Muster wiederherzustellen? Genau (n-i). Also erzeugt das den Faktor [mm] $(-1)^{n-i}$. [/mm] Instgesamt also [mm] $(-1)^{(i+j)+(n-i)}$. [/mm] Das muß +1 sein, und das ist es auch:(i+j)+(n-i)=n+j. Da du nach der letzten Spalte entwickelst, ist j=n, also erhälst du 2n, und das ist immer grade.
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Ich bin euren Beweis jetzt nicht durchgegangen, schlage aber die folgende Alternative vor.
Es sei [mm]B[/mm] die Matrix mit dem Element [mm](-1)^{i+j} a_{ij}[/mm] in der [mm]i[/mm]-ten Zeile und [mm]j[/mm]-ten Spalte. Dann gilt:
[mm]\det(B) \ = \ \sum~\pm \ (-1)^{1 + j_1} (-1)^{2 + j_2} \cdots (-1)^{n + j_n} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}[/mm]
Hierbei wird über alle Permutationen [mm]j_1,j_2,\ldots,j_n[/mm] der Zahlen [mm]1,2,\ldots,n[/mm] summiert. Es gilt das Pluszeichen vor dem Summanden, wenn die Permutation gerade ist, und das Minuszeichen, wenn sie ungerade ist.
Nun gilt aber [mm]j_1 + j_2 + \ldots + j_n = 1 + 2 + \ldots + n[/mm]. Somit ist
[mm](-1)^{1 + j_1} (-1)^{2 + j_2} \cdots (-1)^{n + j_n} = (-1)^{2 \cdot (1 + 2 + \ldots + n)} = 1[/mm]
denn der Exponent von [mm]-1[/mm] ist gerade. Es folgt:
[mm]\det(B) \ = \ \sum~\pm \ a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n} \ = \ \det(A)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 16.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
ich kann habe zu der Schreibweise in deiner Antwort eine Frage:
> [mm]\det(B) \ = \ \sum~\pm \ (-1)^{1 + j_1} (-1)^{2 + j_2} \cdots (-1)^{n + j_n} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}[/mm]
>
> Hierbei wird über alle Permutationen [mm]j_1,j_2,\ldots,j_n[/mm] der
> Zahlen [mm]1,2,\ldots,n[/mm] summiert.
Die fortlaufende Multiplikation
[mm] \pm (-1)^{1 + j_1} (-1)^{2 + j_2} \cdots (-1)^{n + j_n} a_{1j_1} [/mm]
sehe ich ein. Aber weshalb (Komma) , [mm] a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}?
[/mm]
Ich kann mir die einzelnen Summanden nicht richtig vorstellen. Ist dir vielleicht ein Schreibfehler unterlaufen? Kannst du die Summanden mal an einem konkreten Beispiel, (z.B. (5x5)-Matrix) angeben?
Viele Grüße
didi_160
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Ich verwende nur die ![[]](/images/popup.gif) Leibniz-Formel für eine Determinante. Wenn die dir nicht geläufig ist, kannst du den Beweis eben nicht so führen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 So 16.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
ich habe für eine (2 x 2)- und eine (3 x 3)-Matrix durch Anwendung des Entwicklungssatzes und umständliches ausrechnen folgendes gezeigt:
1. det(A+t*B) ist ein Polynom vom Grade 2 bzw. 3 .
2. der Koeffizent zu [mm] t^2 [/mm] bzw [mm] t^3 [/mm] ist identisch mit dem Wert der Determinante det B.
Sind dei beiden Ergebnisse richtig?
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Wenn ja, wie kann ich das gezeigte verallgemeinern und somit auf eine (n x n)-Matrix anwenden?
Besten Dank und viele Grüße
didi
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Die Ergebnisse sind richtig. Und ich finde es gut, daß du das einfach einmal mit kleinen [mm]n[/mm] ausprobiert hast. Wie der Beweis allgemein geht, habe ich dir in einem anderen Strang bereits vollständig (!) gezeigt. Der Beweis setzt allerdings voraus, daß du die Leibnizsche Darstellung der Determinanten kennst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Mo 17.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
besten Dank für deine schnelle Antwort. Damit erübrigt sich die Frage aus der Mitteilung vor 3 Minuten.
Ich muß zu meiner Schande gestehen, die Schreibweise der LEIBNITZ´schen Formel verstehe ich nicht. Aber ich verspreche, ich werde mich schlau machen.
Du hast heute schon mal auf die Formel verwiesen. Bevor ich deine Nachricht las habe ich aber schon mit dem Entwicklungssatz gerechnet. Dadurch habe ich mich mit der Formel noch nicht auseinandergesetzt.
Kennst du noch eine andere Stelle, wo ich mehr zu der Schreibweise und Anwendung erfahre? Am besten mal an einem kleinen Beispiel.
Viele Grüße
didi_160
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Hallo!
> Ich muß zu meiner Schande gestehen, die Schreibweise der
> LEIBNITZ´schen Formel verstehe ich nicht. Aber ich
> verspreche, ich werde mich schlau machen.
>
> Du hast heute schon mal auf die Formel verwiesen. Bevor ich
> deine Nachricht las habe ich aber schon mit dem
> Entwicklungssatz gerechnet. Dadurch habe ich mich mit der
> Formel noch nicht auseinandergesetzt.
>
> Kennst du noch eine andere Stelle, wo ich mehr zu der
> Schreibweise und Anwendung erfahre? Am besten mal an einem
> kleinen Beispiel.
Diese Diskussion hier dürfte dir eigentlich helfen, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 So 16.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Die Rchnungen zu der (2x2)- und (3x3)-Matrix umfassen 4 DIN- A4 Seiten!!
Den Umfang der Rechnung für eine (nxn)-Matrix kann ich nur erahnen. Ich komme ja sofort an die Grenzen, wenn ich mit Index n multiplizieren muß.
Das muß doch auch eleganter gehen. Aber wie???
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Die Leibniz-Formel für [mm]n=2[/mm]:
Die zwei Permutationen von 12 sind:
12 gerade (keine Vertauschung)
21 ungerade (eine Vertauschung)
Daher ist die Determinante von [mm]A[/mm]
[mm]\det(A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}[/mm]
In den Produkten folgt der erste Index immer der natürlichen Reihenfolge 1* 2*, der zweite Index der jeweiligen Permutation: #1 #2 (beim ersten Produkt), #2 #1 (beim zweiten Produkt).
Und für [mm]n=3[/mm] sieht das dann so aus:
Die sechs Permutationen von 123 (jede Vertauschung zweier Ziffern ändert die Parität gerade/ungerade):
123 (gerade) -> 132 (ungerade, da 2,3 getauscht) -> 231 (gerade, da 1,2 getauscht) -> 213 (ungerade, da 1,3 getauscht) -> 312 (gerade, da 2,3 getauscht) -> 321 (ungerade, da 1,2 getauscht)
Daher ist die Determinante von [mm]A[/mm]:
[mm]\det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{23} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31}[/mm]
Für [mm]n=4[/mm] ginge das so (24 Permutationen):
1234 (gerade) -> 1243 (ungerade, da 3,4 getauscht) -> 1342 (gerade, da 2,3 getauscht) -> ...
[mm]\det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} a_{44} - a_{11} a_{22} a_{34} a_{43} + a_{11} a_{23} a_{34} a_{42} -+ \ldots[/mm]
Fürs praktische Rechnen sind diese Formeln absolut unhandlich. Fürs Beweisen sind sie aber manchmal günstig, wenn man mit dem Summenzeichen richtig umzugehen weiß.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:32 Mo 17.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi, danke für den Beitrag und deine Geduld mit mir!
Die Formel ist sehr abstrakt. Deshalb möchte ich gern mal wissen, was rechts vom Gleichheitszeichen in "ausführlicher Notation " steht.
Du schreibst auch, die Formel ist absolut unhandlich für das praktische Rechnen, aber sehr gut für einen Beweis. "...wenn man richtig mit dem Summenzeichen umzugehen weiß...".
Und genau dort klemmt bei mir die Säge!!! Ich bekomme den Beweis allein nicht hin.
Viele Grüße an diesem sonnigen Montag
didi_160
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mo 17.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo, ich muß mich noch mal melden:
Die zwei Permutationen der Ziffern 1,2 sind:
> 12 gerade (keine Vertauschung)> 21 ungerade (eine Vertauschung)
>
> Daher ist die Determinante von [mm]A[/mm]
>
> [mm]\det(A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}[/mm]
Bis hierher alles klar!
_____________________________________________
> In den Produkten folgt der erste Index immer der
> natürlichen Reihenfolge 1* 2*, der zweite Index der
> jeweiligen Permutation: #1 #2 (beim ersten Produkt Faktor ), #2 #1
> (beim zweiten Produkt Faktor).
Bis hierher klar!
______________________________________________
> Und für [mm]n=3[/mm] sieht das dann so aus:
>
> Die sechs Permutationen von 123 (jede Vertauschung zweier
> Ziffern ändert die Parität gerade/ungerade):
>
-> 123 (g)
-> 132 (u, da 2,3 getauscht)
-> 231 (g, da 1,2 getauscht)
-> 213 (u, da 1,3 > getauscht)
-> 312 (g, da 2,3 getauscht)
-> 321 (u, da 1,2 getauscht)
Bis hierher alles klar!
______________________________________________
> Daher ist die Determinante von [mm]A[/mm]:
>
> [mm]\det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{23} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31}[/mm]
Das ist mir nun nicht klar. Wo tauchen denn die 6 Permutationen der Ziffern 1,2,3 auf?? An den Koeffizenten stehen doch nur 2 Indizes [mm] a_{23} [/mm] ??
Ich möchte erst einmal das begreifen, dann weiter zu den 24 Permutationen.
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> Für [mm]n=4[/mm] ginge das so (24 Permutationen):
>
> 1234 (gerade) -> 1243 (ungerade, da 3,4 getauscht) -> 1342
> (gerade, da 2,3 getauscht) -> ...
>
> [mm]\det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} a_{44} - a_{11} a_{22} a_{34} a_{43} + a_{11} a_{23} a_{34} a_{42} -+ \ldots[/mm]
>
Fürs Beweisen sind sie aber manchmal günstig,
> wenn man mit dem Summenzeichen richtig umzugehen weiß.
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Bin für jeden Tpp sehr dankbar.
Viele Grüße
didi_160
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Hallo nochmal!
> > Und für [mm]n=3[/mm] sieht das dann so aus:
> >
> > Die sechs Permutationen von 123 (jede Vertauschung zweier
> > Ziffern ändert die Parität gerade/ungerade):
> >
> -> 123 (g)
> -> 132 (u, da 2,3 getauscht)
> -> 231 (g, da 1,2 getauscht)
> -> 213 (u, da 1,3 > getauscht)
> -> 312 (g, da 2,3 getauscht)
> -> 321 (u, da 1,2 getauscht)
> Bis hierher alles klar!
> ______________________________________________
> > Daher ist die Determinante von [mm]A[/mm]:
> >
> > [mm]\det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{23} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31}[/mm]
>
> Das ist mir nun nicht klar. Wo tauchen denn die 6
> Permutationen der Ziffern 1,2,3 auf?? An den Koeffizenten
> stehen doch nur 2 Indizes [mm]a_{23}[/mm] ??
Ja, aber es reicht sogar quasi die zweite Ziffer. Wenn du dir nur die zweite Ziffer jeweils anguckst, siehst du genau die Permutationen, nicht?  Oder, was glaube ich eher direkt aus der Definition folgt, du stellst dir die Permutationen so vor:
[mm] \pmat{1&2&3\\1&2&3} [/mm] mit sign=1
[mm] \pmat{1&2&3\\1&3&2} [/mm] mit sign=-1
[mm] \pmat{1&2&3\\2&1&3} [/mm] mit sign=-1
[mm] \pmat{1&2&3\\2&3&1} [/mm] mit sign=1
[mm] \pmat{1&2&3\\3&1&2} [/mm] mit sign=1
[mm] \pmat{1&2&3\\3&2&1} [/mm] mit sign=-1
Dann hat jedes erste a die Indizes der ersten Spalte, jedes zweite a die Indizes der zweiten Spalte und jedes dritte a - naja, das dürfte dann ja klar sein.
> Ich möchte erst einmal das begreifen, dann weiter zu den
> 24 Permutationen.
Jo. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
viele Grüße
Bastiane
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Hallo Didi_160,
Na dann trage ich mal zur Verwirrung bei und liefere noch einen Ansatz:
Man kann sich überlegen mit welchen Matrizen(sinnvoller Weise 2) man A multiplizieren muß um solch eine schachbrettartige Veränderung des Vorzeichens zu erreichen. Danach gibt's so eine Rechenregel:
det(AB)=det(A)*det(B)
viele Grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
... zum weiteren Durcheinander:
> Hallo Didi_160,
> Na dann trage ich mal zur Verwirrung bei und liefere noch
> einen Ansatz:
> Man kann sich überlegen mit welchen Matrizen(sinnvoller
> Weise 2) man A multiplizieren muß um solch eine
> schachbrettartige Veränderung des Vorzeichens zu erreichen.
> Danach gibt's so eine Rechenregel:
> det(AB)=det(A)*det(B)
> viele Grüße
> mathemaduenn
Man kann von rechts und links die gleiche Matrix nehmen, und sie ist sehr sehr einfach aufgebaut.
Dafür heißt die Rechenregel dann:
det(ABA)=det(A)*det(B)*det(A),
und das soll nicht nur = det(B) sein, sondern ist es auch.
Viele Grüße aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mo 17.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo Dieter
> det(ABA)=det(A)*det(B)*det(A),
> und das soll nicht nur = det(B) sein, sondern ist es
> auch.
Jetzt verstehe ich gar nichts mehr:
1. was meinst du mit " soll nicht nur = det(B) sein, sondern ist es
auch".
2. Meinst du die Einheitsmatrix [mm] B=E=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }? [/mm] Wenn nicht erklär mir das bitte.
Besten Dank im Voraus.
Didi_160
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mo 17.07.2006 | | Autor: | statler |
Oh Mann, ich hab's befürchtet!
> Hallo Dieter
>
> > det(ABA)=det(A)*det(B)*det(A),
> > und das soll nicht nur = det(B) sein, sondern ist es
> > auch.
>
> Jetzt verstehe ich gar nichts mehr:
>
> 1. was meinst du mit " soll nicht nur = det(B) sein,
> sondern ist es
> auch".
>
> 2. Meinst du die Einheitsmatrix [mm]B=E=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }?[/mm]
> Wenn nicht erklär mir das bitte.
Das ist nicht die Einheitsmatrix!
Ich meine mit A die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & & & & 0 \\ 0 & -1 & 0 & & & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & & 0 \\ \\ \\ 0 & & & & & \pm1 }
[/mm]
also abwechselnd +1 und -1 auf der Hauptdiagonalen.
Ich hoffe, ich liege richtig, bei dieser Hitze kann ja kein Mensch denken!
Gruß
Dieter
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![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
Und ich glaube, so geht es viel viel einfacher, auch wenn es sicher nicht schlecht ist, die Formel von Leibniz zu verstehen. Also, nochmal etwas ausführlicher:
