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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:42 So 18.09.2011 | | Autor: | Enton |
| Aufgabe | Gegeben sei das Anfangswertproblem y' = |x+y|, y(2)=5
Antwortmöglichkeiten:
A: Das Anfangswertproblem hat keine Lösung.
B: Das Anfangswertproblem hat mehrere Lösungen.
C: Die Tangente an den Graphen der Lösung im Punkt x=2 ist z(x)=7x-9
D: Die Funktion f(x,y)=|x+y| ist bezüglich y nicht lipschitzstetig.
Hinweis: Genau eine der vier Antworten ist richtig. |
Hallo,
ich habe bisher keine Antwort auf diese Fragestellung finden können.
Ich dachte mir, dass das hier zum Thema passt, deshalb stelle ich die Frage an dieser Stelle.
Das einzige was ich zu dem Thema bisher kenne ist, wie man überprüfen kann, ob die Lipschitz-Bedingung
[mm] |f(x,y_{2})-f(x,y_{1})| \le L*|y_{2}-y_{1}|
[/mm]
erfüllt ist.
Indem ein konstantes L gesucht wird, für das die Bedingung erfüllt ist.
f(x,y) = |x+y|
[mm] |f(x,y_{2})-f(x,y_{1})| \le L*|y_{2}-y_{1}|
[/mm]
[mm] ||x+y_{2}|-|x+y_{1}|| \le L*|y_{2}-y_{1}|
[/mm]
[mm] ||x+y_{2}|-|x+y_{1}|| [/mm] / [mm] |y_{2}-y_{1}| \le [/mm] L
Leider bin ich nicht sicher, ob hier ein bestimmtes L gewählt werden kann.
Außerdem weiß ich auch nicht, ob ich auf diese Weise die Frage beantworten kann.
Ich weiß auch nicht, wie man mit einem Betrag umzugehen hat, wenn es um unbestimmtes Integrieren und Differenzieren geht.
Würde es keinen Betrag geben, dann wäre die Funktion
y' = x + y
Zu lösen durch y(x) = [mm] e^x*(5*e^-^x+\integral_{2}^{x}{t*e^-^t dt})
[/mm]
y(x) = 5 + [mm] ((-x-1)*e^{-x} [/mm] - [mm] (-2-1)*e^{-2})
[/mm]
y(x) = 5 + [mm] 3*e^{-2} -(x+1)*e^{-x}
[/mm]
In dem Fall hätte ich eine Lösung, allerdings ist das nur die Lösung für den Fall x + y [mm] \ge [/mm] 0
Für den Fall x + y [mm] \le [/mm] 0 vermute ich, dass es der Gleichung y'=-x -y entspricht.
Zu lösen durch y(x) = [mm] e^{-x}*(5*e^{x}+\integral_{2}^{x}{t*e^t dt})
[/mm]
y(x) = 5 + [mm] ((x-1)*e^{x} [/mm] - [mm] (2-1)*e^{2})
[/mm]
y(x) = 5 - [mm] e^{2} [/mm] + [mm] (x-1)*e^{x}
[/mm]
Ich habe also zwei Lösungen gefunden, demnach könnte ich sagen, dass die Antwort B richtig ist.
Nun weiß ich aber erstens nicht, ob ich hier wirklich richtig gerechnet habe und zweitens ist es bei dieser Multiple Choice Aufgabe nicht vorgesehen, dass man viel rechnet.
Meine Fragen sind also:
1) Welche der vier Antworten ist richtig?
2) Wie kann ich schnell auf die Antwort kommen?
Eine Idee von mir ist, dass eine DGL mit Betrag zwei Lösungen hat, wenn sie ohne Betrag eine Lösung hat.
Allerding bin ich noch nicht einmal sicher, wann genau eine DGL ohne Betrag genau eine Lösung hat.
Meine Vermutung war ja, dass ein Anfangswert + DGL 1. Ordnung immer eine Lösung bedeutet.
Es wäre mir schon eine Hilfe, wenn man mir bestätigen könnte, dass das bei linearen DGL immer so ist.
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Hallo Enton,
ich empfehle dir sehr, für diese neue Frage einen neuen
Thread zu beginnen anstatt an eine lange (und alte)
Geschichte ein neues Kapitel anzuhängen !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 20.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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