diagonalisierbare matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Mi 03.05.2006 | | Autor: | nebu |
| Aufgabe | Bei der Teilaufgabe a) (schon gelöst gabs weniger probleme)
Es sei [mm] A\in\IR^{nxn} [/mm] eine diagonalisierbare MAtrix mit nicht-negativen Eigenwerten. Zeigen sie, dass eine Matrix T mit [mm] T^{2}=A [/mm] gibt.
b) Berechnen Sie eine soclhe Matrix T für
[mm] A=\pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 9 }
[/mm]
Geben Sie die Eigenwerte von A sowie algebraische und geometrische Vielfachheiten an. Wie sieht man sofort (ohne zu rechnen), dass A diagonalisierbar ist?
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Wie gesagt die A ist soweit gelöst und bei der b habe ich die Eigenwerte
[mm] \lambda [/mm] 1= 1 ; [mm] \lambda [/mm] 2=4 und [mm] \lambda [/mm] 3= 9 raus bekommen aber ein dazugehöriger Eigenraum wäre dann [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] und das würde keinen Sinn machen,
danke für Antworten
mfg Nebu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nebu!
> Bei der Teilaufgabe a) (schon gelöst gabs weniger
> probleme)
>
> Es sei [mm]A\in\IR^{nxn}[/mm] eine diagonalisierbare MAtrix mit
> nicht-negativen Eigenwerten. Zeigen sie, dass eine Matrix T
> mit [mm]T^{2}=A[/mm] gibt.
>
> b) Berechnen Sie eine soclhe Matrix T für
> [mm]A=\pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 9 }[/mm]
>
> Geben Sie die Eigenwerte von A sowie algebraische und
> geometrische Vielfachheiten an. Wie sieht man sofort (ohne
> zu rechnen), dass A diagonalisierbar ist?
>
> Wie gesagt die A ist soweit gelöst und bei der b habe ich
> die Eigenwerte
> [mm]\lambda[/mm] 1= 1 ; [mm]\lambda[/mm] 2=4 und [mm]\lambda[/mm] 3= 9 raus bekommen
Genau. Die kann man ja schoen von der Diagonale ablesen 
> aber ein dazugehöriger
Wozu?
> Eigenraum wäre dann [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> und das würde keinen Sinn machen,
Das ist ein Vektor und kein Raum. Kein Wunder dass das keinen Sinn macht.
Rechne mal die Eigenraeume zu den Eigenwerten $1$, $4$ und $9$ aus. In (a) wirst du ja irgendwie diese Matrix $T$ konstruiert haben: fuehr das Verfahren doch einfach mit der Matrix aus (b) durch.
Und schreib doch mal bitte eine konkrete Frage. Ich kann in deinem Posting keine erkennen...
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Janyary |
Hallo nebu,
ich habe festgestellt, dass ich die gleiche Aufgabe bearbeiten musste..
zu [mm] \lambda_{1}=1
[/mm]
[mm] A-\lambda_{1}*E= \pmat{ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 9 }
[/mm]
um auf den basisvektor fuer den zugehoerigen eigenraum zu kommen stell ich mir immer nen gleichungssystem auf.
I. 3y+ z=0
II. 3y+5z=0
III. 9z=0
wenn du das loest, kommst du auf y=z=0. da x nicht in der gleichung auftaucht, kann es denke ich einen beliebigen wert annehmen.
also habe ich als basisvektor [mm] v_{1}=\vektor{1\\ 0 \\ 0} [/mm] gewaehlt.
zu [mm] \lambda_{2}=4 [/mm]
I. -3x+3y+z=0
II. 5z=0
III. 4z=0
daraus folgt x=y und z=0. [mm] v_{2}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
zu [mm] \lambda_{3}=9
[/mm]
I. -8x+3y+z=0
II. -5y+5z=0
III. 0=0
daraus folgt y=z und [mm] x=\bruch{1}{2}*y [/mm] und ergibt [mm] v_{3}=\vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
daraus kannst du ja nun leicht S und [mm] S^{-1} [/mm] aufstellen, sowie T berechnen.
zur Kontrolle..
T= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3}
[/mm]
hoffe das hilft dir erstmal weiter, ansonsten nochmal fragen :)
Lg Jany
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