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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 18.01.2005 | | Autor: | Gopal |
Hallo Leute,
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
ich soll folgende Aufgabe lösen:
geg Matrix
A= [mm] \pmat{ 4 & 2 &-2 \\ 3 & 4 & -3 \\ 3 & 2 & -1 }
[/mm]
(i) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
(ii) Konstruieren Sie eine Matrix S [mm] \in GL(3,\IR), [/mm] mit der Eigenschaft, dass [mm] S^{-1}AS [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
zu (i) habe ich Eigenwerte 1, 2 und 4 bestimmt aber ich komm nicht drauf, wie ich jetzt S ermitteln soll. kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
danke
Gopal
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Halli hallo!
Zur Berechnung der Transformationsmatrix S benötigst du die zu den Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren v!
Diese berechnest du zu
[mm] (A-\lambda*E)v=0
[/mm]
Diese Eigenvektoren bilden die Spalten von S
Die Diagonalmatrix ergibt sich ja dann zu [mm] D=S^{-1}AS
[/mm]
Wenn du Probleme hast meld dich nochmal!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 18.01.2005 | | Autor: | Gopal |
> Halli hallo!
>
> Zur Berechnung der Transformationsmatrix S benötigst du die
> zu den Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren v!
> Diese berechnest du zu
> [mm](A-\lambda*E)v=0
[/mm]
tausend dank für die prompte antwort! leider sehe ich immer noch nicht richtig durch:
was genau ist jetzt [mm] \lambda*E [/mm] ?
gruß
gopal
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Halli hallo!
kein Problem!
Mit E bezeichne ich die Einheitsmatrix!
Das heißt du mußt die Gleichungssysteme
[mm] (\pmat{ 4 & 2 &-2 \\ 3 & 4 & -3 \\ 3 & 2 & -1 }-\lambda\pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 })*v=0 [/mm] lösen!
Für den ersten Eigenwert [mm] \lambda=1
[/mm]
erhälst du dann also das LGS:
[mm] (\pmat{ 4 & 2 &-2 \\ 3 & 4 & -3 \\ 3 & 2 & -1 }-1*\pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 })*\vektor{v_1\\v_2\\v_3}=0
[/mm]
[mm] v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} [/mm] bildet dann deinen Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda=1 [/mm] und die erste Spalte von S!
Liebe Grüße
Ulrike
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