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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mi 21.09.2005 | | Autor: | Johann.S |
Hallo,
ich hab in paar Fragen zu Diagonalmatrizen.
Ich kann doch jede symmetrische Matrix oder jeden selbstadjungten Operator diagonalisieren, oder? Kann mann auch andere Matrizen diagonalisieren, orthogonale z.B?
Zum diagonalisieren von A wendet man doch die Hauptachsentransformation an mit D=P^(-1)AP.
Auf P kommt man mit den Eigenwerten und den entsprechenden orthonormierten Eigenvektoren.
Was ist der unterschied zu der Jordannormalform für die gilt doch auch
D=P^(-1)AP.
Werden einfach die Eigenvektoren nicht mehr orthonormiert?
Und was ist der Unterschied zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit?
Ich habe hier im Forum schon einige threads dazu gelesen, und das sind die Fragen die sich bei mir dabei aufgetan haben, ich weiß sind viele, aber ich hoffe doch nicht allzu schwer zu beantworten.
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hallo!
ein endomorphismus F:V->V zwischen K-Vektorräumen ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von V aus Eigenvektoren von F gibt, oder allgemeiner falls
V=Eig(F, [mm] \lambda_1) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus [/mm] Eig(F, [mm] \lambda_s)
[/mm]
gilt, dabei sind die [mm] \lambda_k [/mm] (k=1...s) die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F und Eig(F, [mm] \lambda_k):=ker(F- \lambda_k id_V).
[/mm]
es gibt auch matrizen, die dies erfüllen und nicht symmetrisch sind. orthogonale matrizen kann man im Allgemeinenen nicht diagonalisiseren, nur spezielle.
die hauptachsentransformation ist den symmetrischen matrizen vorbehalten. i.A. ist diagonalisieren etwas anderes als hauptachsentrafo, nur kommt halt bei ner haupachsentransformation eine matrix in diagonalgestalt heraus.
die algebraische vielfachheit: ist die vielfachheit einer nullstelle eines polynoms, z.b. eines eigenwertes im charakteristischen polynom.
die geometrische vielfachheit: =dim(Eig(F, [mm] \lambda_k))
[/mm]
frag weiter, wenn noch nicht alles beantwortet ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mi 21.09.2005 | | Autor: | Johann.S |
Was ist der Unterschied zwischen Jordannormalform und diaonalmatrix von Herangehensweise?
Siehe Ausgangsfrage.
Bei der Jordannormalfom habe ich ja die Jordankästchen auf der Diagonalen mit den Eigenwerten und der entsprechenden Vielfachheit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mi 21.09.2005 | | Autor: | calabi-yau |
ehrlich gesagt verstehe ich nicht was du jetzt wissen willst. bedenke auch, dass eine jordanform "schwächer" ist als eine diagonalform, man kann jeden trigonalisierbaren endomorphismus in jordanform bringen (was besser als dreiecksgestalt ist). will man einen diagonalisierbaren endom. jedoch auf jordanform bringen, so kommt eine matrix in diagonalgestalt heraus, was eine spezielle form der jordanmatrix ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Do 22.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Johann!
Ich will es dir mal an einem einfachen Fall demonstrieren.
Nehmen wir mal die Matrix
$A = [mm] \pmat{c & 0 \\ 2 & c}$.
[/mm]
Wie du siehst, ist das charakteristische Polynom gleich:
[mm] $CP_A(t) [/mm] = [mm] (c-t)^2$,
[/mm]
wir haben also einen Eigenwert $t=c$ mit der algebraichen Vielfachheit $2$.
Andererseits sehen wir, dass
[mm] $Eig_c(A) [/mm] = [mm] Kern(A-cE_2) [/mm] = Kern [mm] \left( \pmat{c & 0 \\ 2 & c} - c\cdot E_2 \right) [/mm] = Kern [mm] \pmat{0 & 0 \\ 2 & 0} [/mm] = [mm] Span(e_2)$
[/mm]
nur eindimdimensional ist, d.h. die geometrische Vielfachheit von $c$ ist nur gleich $1$. Daher ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Wir haben quasi nicht genug linear unabhängige Vektoren in
[mm] $Eig_c(A) [/mm] = Kern(A- c [mm] \cdot E_2) [/mm] = Kern [mm] \left( \pmat{c & 0 \\ 2 & c} - c\cdot E_2 \right)$.
[/mm]
Was man nun macht, ist folgendes: Man betrachtet nicht mehr nur die Eigenräume, sondern die Verallgemeinerten Eigenräume
$Kern [mm] \left( A - c \cdot E_n\right)^i$, $i=1,2,\ldots$
[/mm]
Diese werden immer größer und sind irgendwann gleich dem [mm] $\IR^n$.
[/mm]
In diesem Fall ist schon
$Kern(A - c [mm] \cdot E_2)^2 [/mm] = Kern [mm] \left( \pmat{c & 0 \\ 2 & c} - c\cdot E_2 \right)^2 [/mm] = Kern [mm] \pmat{0 & 0 \\ 0 & 0} [/mm] = [mm] \IR^2$.
[/mm]
Nun wählen wir uns einen Vektor $x$, der in $Kern [mm] \left( A- c\cdot E_2 \right)^2$ [/mm] liegt, aber nicht in $Kern [mm] \left( A - c\cdot E_2 \right)$. [/mm] Für dieses $x$ gilt also:
[mm] $\left( \pmat{c & 0 \\2 & c} - \pmat{c & 0 \\ 0 & c} \right)^2 [/mm] x =0$,
aber
[mm] $\left(\pmat{c & 0 \\ 2 & c} - \pmat{c & 0 \\ 0 & c} \right) [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0$.
Du wirst leicht feststellen, dass [mm] $x=e_1=\pmat{1 \\ 0}$ [/mm] ein solcher Vektor ist.
Nun wählst du eine spezielle Basis von
$Kern [mm] \left( \pmat{c & 0 \\ 2 & c} - c\cdot E_2 \right)^2 [/mm] = Kern [mm] \pmat{0 & 0 \\ 0 & 0} [/mm] = [mm] \IR^2$,
[/mm]
nämlich:
[mm] $y_1:=x=e_1$,
[/mm]
[mm] $y_2=(A-cE_2)y_1 [/mm] = [mm] \left(\pmat{c & 0 \\ 2 & c} - c \cdot E_2 \right)y_1 [/mm] = [mm] \pmat{0 & 0 \\ 2 & 0} \cdot \pmat{1 \\ 0} [/mm] = 2 [mm] \cdot e_2$.
[/mm]
Bezüglich dieser Basis [mm] $(y_1,y_2)$ [/mm] hat die Matrix $A$ Jordangestalt, denn wegen
[mm] $(A-c)^2y_1=0$,
[/mm]
also:
[mm] $(A-cE_2)Ay_1 [/mm] - [mm] c(A-cE_2)y_1=0 \quad \Leftrightarrow \quad A(A-cE_2)y_1 [/mm] = [mm] c(A-cE_2)y_1$,
[/mm]
folgt:
[mm] $Ay_1 [/mm] = [mm] (A-cE_2)y_1 [/mm] + [mm] cy_1 [/mm] = [mm] \blue{c} \cdot y_1+ \red{1} \cdot y_2$,
[/mm]
[mm] $Ay_2 [/mm] = [mm] A(A-cE_2)y_1 =c(A-cE_2)y_1 [/mm] = [mm] cy_2 [/mm] = 0 [mm] \cdot y_1 [/mm] + [mm] \green{c} \cdot y_2$,
[/mm]
also haben wir bezüglich [mm] $(y_1,y_2)$ [/mm] die folgende Jordansche Normalform von $A$:
[mm] $\pmat{\blue{c} & \red{1} \\ 0 & \green{c}}$.
[/mm]
Manchmal ordnet man die Basis auch so an, dass die $1$en unterhalb der Diagonalen stehen; das ist eine Sache der Konvention.
Wäre die Matrix $A$ diagonalisierbar gewesen, wäre der ganze Quatsch nicht nötig gewesen. Dann hätten wir sofort eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] aus [mm] $Kern(A-cE_2)$ [/mm] bekommen, denn letzterer wäre dann zweidimensional. Wir hätten dann nicht zum verallgemeinerten Eigenraum [mm] $Kern(A-cE_2)^2$ [/mm] übergehen müssen.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Do 22.09.2005 | | Autor: | Johann.S |
Danke für eure antworten ich glaube das beisoiel hats mir nochmal deutlich gemacht.
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