diff'bare Funktionen auf C < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Sa 17.04.2010 | | Autor: | anouk |
| Aufgabe | Gebe alle differenzierbaren Funktionen f: C --> C mit f(C) [mm] \subset [/mm] R.
[C = komplexe Zahlen, R = reelle Zahlen] |
Hallo! Ich habe dieses Problem zu lösen, aber ich habe wirklich keine Ideen, wie ich beginnen und weitergehen kann.
Ich glaube, dass es auch mit der Invarianz unter C zu tun hat, wegen:
f(C) [mm] \subset [/mm] R [mm] \subset [/mm] C.
Aber was kann ich damit machen? Habt ihr Ideen?
Vielen Dank schon im Voraus! 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
wann heisst eine Funktion in [mm] \IC [/mm] denn differenzierbar?
Beachte, wenn [mm] $f(\IC) \subset \IR$, [/mm] dass dann insbesondere $Im(f(x)) = 0, [mm] x\in\IC$ [/mm] gilt!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 17.04.2010 | | Autor: | anouk |
| Aufgabe | | Gebe alle differenzierbaren Funktionen f: C [mm] \to [/mm] C mit f(C) [mm] \subset [/mm] R. |
Ok, so habe ich f: C [mm] \to [/mm] C, x [mm] \mapsto [/mm] f(x), wo f(x) keine imaginäre Zahlen enthält. Aber wie weiss ich dann, dass diese Funktion differenzierbar ist?
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Ihr hattet bestimmt Eigenschaften, wann eine Funktion komplex differenzierbar ist. Tipp: cauchy-riemannsche Differentialgleichungen.
Und du sollst nun alle komplex differenzierbaren (aka holomorphen) Funktionen $f(x) = u(x) + iv(x)$ angeben, für die gilt [mm] $f(\IC) \subset \IR$. [/mm] Was heisst das für u(x) und v(x) ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Sa 17.04.2010 | | Autor: | anouk |
Ok, vielleicht habe ich jetzt eine Lösung.
Sei f(x) = u(x) + iv(x).
Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen sind dann:
du/dx = dv/dy
du/dy = - dv/dx in einem festen Punkt x. (Wikipedia)
Angenommen f ist holomorph mit f(x) [mm] \subset [/mm] R (Voraussetzung), dann gilt: v(x) = 0 und u(x) differenzierbar.
Die Cauchy-riemannsche Diff.gleichungen sind ein Kriterium für diese Differenzierbarkeit (wenn ich gut verstanden habe). Daraus folgt so:
du/dx = 0 und auch du/dy = 0 (in einem festen Punkt x).
Endliche Lösung: Alle Funktionen f: C [mm] \to [/mm] C mit f(x) [mm] \subset [/mm] R sind komplex differenzierbar, wenn sie v(x) = 0 haben und die partiellen Ableitungen von u(x) in einem festen Punkt x gleich Null sind.
Richtig?
Danke für deine Antworten und deine Geduld!
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Weiter gehts.
> Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen sind dann:
>
> du/dx = dv/dy
> du/dy = - dv/dx in einem festen Punkt x. (Wikipedia)
Ok, allerdings solltest du die nicht nur von Wikipedia haben sondern auch aus deiner Vorlesung.
> Angenommen f ist holomorph mit f(x) [mm]\subset[/mm] R
Nicht f(x) sondern [mm] f(\IC).....
[/mm]
> (Voraussetzung), dann gilt: v(x) = 0 und u(x)
> differenzierbar.
> du/dx = 0 und auch du/dy = 0 (in einem festen Punkt x).
Woher hast du das? Das solltest du vielleicht noch besser erklären.
Und: Das muss nicht nur für EINEN festen Punkt x gelten, sondern für ALLE.
> Endliche Lösung: Alle Funktionen f: C [mm]\to[/mm] C mit f(x)
> [mm]\subset[/mm] R sind komplex differenzierbar, wenn sie v(x) = 0
> haben und die partiellen Ableitungen von u(x) in einem
> festen Punkt x gleich Null sind.
Also: Das $v(x) = 0$ ist, kommt aus der Bedingung [mm] $f(\IC) \subset \IR$, [/mm] das ist keine wirklich neue Erkentnis.
Und u(x) muss nicht in einem festen Punkt, sondern in ALLEN Punkten die partiellen Ableitungen 0 haben.
Wie sieht u(x) demzufolge aus?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Sa 17.04.2010 | | Autor: | anouk |
Wenn die partiellen Ableitungen von u(x) in jedem Punkt gleich Null sind, dann ist also u(x) eine Konstant [mm] \alpha. [/mm]
Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen sind dann:
>
> du/dx = dv/dy = 0
> du/dy = - dv/dx = 0,
weil v(x)= 0 ist.
Danke!
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