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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Fr 03.02.2012 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Gebe die Differentialformen an:
(i) df für f [mm] \in Omega^{0} (\IR^{2};\IR), [/mm] f(x,y)=3x - cos(y) + [mm] ye^{x^{2}}
[/mm]
(ii) dw für w [mm] \in Omega^{1} (\IR^{3};\IR), [/mm] w=10xydx + [mm] (5x^{2} [/mm] - cos(z))dy + ysin(z)dz
(iii) df [mm] \wedge [/mm] dx für f wie in (i)
. |
hallöchen...
also ich beschäftige mich momentan nur mit teil (i) und bin dort etwas verwirrt.
ich habe für glatte funktionen,was sie ja ist,gefunden ,dass folgendes gilt.
[mm] df=\summe_{i=1}^{2} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}} dx_{i}
[/mm]
also hier: [mm] df=\bruch{\partial f}{\partial x}dx [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}dy
[/mm]
= [mm] (3+ye^{x^{2}}2x)dx [/mm] + (sin(y) + [mm] e^{x^{2}})dy [/mm] oder???
und jetzt steh ich irgendwie auf dem schlauch,weil ich nicht weiß wann und wo [mm] "\wedge" [/mm] ins spiel kommt. eine differentialform enthält doch dieses symbol.
kann mir vielleicht jemand helfen?
gruß simplify
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Hallo simplify,
> Gebe die Differentialformen an:
> (i) df für f [mm]\in Omega^{0} (\IR^{2};\IR),[/mm] f(x,y)=3x -
> cos(y) + [mm]ye^{x^{2}}[/mm]
> (ii) dw für w [mm]\in Omega^{1} (\IR^{3};\IR),[/mm] w=10xydx +
> [mm](5x^{2}[/mm] - cos(z))dy + ysin(z)dz
> (iii) df [mm]\wedge[/mm] dx für f wie in (i)
> .
> hallöchen...
> also ich beschäftige mich momentan nur mit teil (i) und
> bin dort etwas verwirrt.
> ich habe für glatte funktionen,was sie ja ist,gefunden
> ,dass folgendes gilt.
> [mm]df=\summe_{i=1}^{2} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}} dx_{i}[/mm]
>
> also hier: [mm]df=\bruch{\partial f}{\partial x}dx[/mm] +
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}dy[/mm]
> = [mm](3+ye^{x^{2}}2x)dx[/mm] +
> (sin(y) + [mm]e^{x^{2}})dy[/mm] oder???
Ja.
> und jetzt steh ich irgendwie auf dem schlauch,weil ich
> nicht weiß wann und wo [mm]"\wedge"[/mm] ins spiel kommt. eine
> differentialform enthält doch dieses symbol.
> kann mir vielleicht jemand helfen?
Es handelt sich bei df um 1-Form.
Diese 1-Form enthält kein "[mm]\wedge[/mm]".
Erst ab einer 2-Form kommt dieses "[mm]\wedge[/mm]" ins Spiel.
> gruß simplify
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Fr 03.02.2012 | | Autor: | simplify |
ah,ok.das ist gut zu wissen.danke.
na dann kümmer ich mich mal um teil (ii).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Fr 03.02.2012 | | Autor: | simplify |
Hallo...
ich hab mir jetzt mal teil (ii) angeschaut und erhalte bei meiner rechnung 0.kann das sein?
ich habe folgendes gemacht:
[mm] w_{1}=10xy; w_{2}=5x^{2} [/mm] - cos(z); [mm] w_{3}=ysin(z)
[/mm]
[mm] dw=\bruch{\partial w_{1}}{\partial y} [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dx + [mm] \bruch{\partial w_{1}}{\partial z} [/mm] dz [mm] \wedge [/mm] dx + [mm] \bruch{\partial w_{2}}{\partial x} [/mm] dx [mm] \wegde [/mm] dy [mm] \bruch{\partial w_{2}}{\partial z} [/mm] dz [mm] \wedge [/mm] dy [mm] +\bruch{\partial w_{3}}{\partial y} [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz + [mm] \bruch{\partial w_{3}}{\partial x} [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dz
dw=10x dy [mm] \wedge [/mm] dx + 10x dx [mm] \wedge [/mm] dy + sin(z) dz [mm] \wedge [/mm] dy + sin(z) dy [mm] \wedge [/mm] dz
mit dx [mm] \wedge [/mm] dy = - dy [mm] \wedge [/mm] dx gilt
dw=0 oder nicht!?!?
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Hallo simplify,
> Hallo...
> ich hab mir jetzt mal teil (ii) angeschaut und erhalte bei
> meiner rechnung 0.kann das sein?
> ich habe folgendes gemacht:
> [mm]w_{1}=10xy; w_{2}=5x^{2}[/mm] - cos(z); [mm]w_{3}=ysin(z)[/mm]
>
> [mm]dw=\bruch{\partial w_{1}}{\partial y}[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dx +
> [mm]\bruch{\partial w_{1}}{\partial z}[/mm] dz [mm]\wedge[/mm] dx +
> [mm]\bruch{\partial w_{2}}{\partial x}[/mm] dx [mm]\wegde[/mm] dy
> [mm]\bruch{\partial w_{2}}{\partial z}[/mm] dz [mm]\wedge[/mm] dy
> [mm]+\bruch{\partial w_{3}}{\partial y}[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz +
> [mm]\bruch{\partial w_{3}}{\partial x}[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dz
>
> dw=10x dy [mm]\wedge[/mm] dx + 10x dx [mm]\wedge[/mm] dy + sin(z) dz [mm]\wedge[/mm]
> dy + sin(z) dy [mm]\wedge[/mm] dz
>
> mit dx [mm]\wedge[/mm] dy = - dy [mm]\wedge[/mm] dx gilt
>
> dw=0 oder nicht!?!?
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Sa 04.02.2012 | | Autor: | simplify |
na das klappt ja anscheinend doch besser als gedacht.
könnte ich für teil (iii) vielleicht auch noch einen zuspruch oder widerspruch bekommen...
bis jetzt habe ich folgendes:
df [mm] \wedge [/mm] dx = ((3x+y [mm] e^{x^{2}} [/mm] 2x)dx + (sin(z) + [mm] e^{x^{2}})dy) \wedge [/mm] dx
= [mm] ((3x+ye^{x^{2}} [/mm] 2x)dx [mm] \wedge [/mm] dx + (sin(z) + [mm] e^{x^{2}})dy \wedge [/mm] dx
mit dx [mm] \wedge [/mm] dx=0
=(sin(z) + [mm] e^{x^{2}}) [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dx
ich weiß jetzt nur nicht,ob ich [mm] \wedges [/mm] dx wie ein produkt bzw einen normalen faktor behandeln kann oder eineandere bestimmte rechenregel anwenden sollte!?
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Hallo simplify,
> na das klappt ja anscheinend doch besser als gedacht.
> könnte ich für teil (iii) vielleicht auch noch einen
> zuspruch oder widerspruch bekommen...
> bis jetzt habe ich folgendes:
> df [mm]\wedge[/mm] dx = ((3x+y [mm]e^{x^{2}}[/mm] 2x)dx + (sin(z) +
> [mm]e^{x^{2}})dy) \wedge[/mm] dx
> = [mm]((3x+ye^{x^{2}}[/mm] 2x)dx [mm]\wedge[/mm] dx + (sin(z) + [mm]e^{x^{2}})dy \wedge[/mm]
> dx
> mit dx [mm]\wedge[/mm] dx=0
> =(sin(z) + [mm]e^{x^{2}})[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dx
>
Statt dem "z" muss hier ein "y" stehen:
[mm](sin(\blue{y}) + e^{x^{2}}) \ dy \wedge dx[/mm]
> ich weiß jetzt nur nicht,ob ich [mm]\wedges[/mm] dx wie ein produkt
> bzw einen normalen faktor behandeln kann oder eineandere
> bestimmte rechenregel anwenden sollte!?
"dx" ist und bleibt "dx".
Gruss
MathePower
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