differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ist folgende Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] in 0 differenzierbar?
[mm][mm] f(x)=\begin{cases} sinx, & \mbox{für } x\ge 0 \\ x, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm] |
Hi,
ich wollte wissen ob mein Anfang so richtig ist:
[mm]lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
wobei [mm]h= x-x_0[/mm]
Ich hab jetzt auch eine Fallunterscheidung gemacht und zwar für x<0 und x>0.
Wobei ich x=0 rausgezogen hab und für beide Fälle verwendet hab, darf man sowas überhaupt?
1.Fall: x<0
[mm]lim \frac{x-sin(x)}{x}= lim \frac{f(sin(x)+h)-sin(x)}{-sin(x)}[/mm]
2.Fall: x>0
[mm]lim \frac{sin(x)-sin(x)}{x}= lim \frac{f(sin(x)+h)-sin(x)}{-sin(x)}[/mm]
Stimmt das im Ansatz so, oder ist das total falsch?
Wie ist das eigentlich mit Links- und Rechtsseitigen Grenzwert, die brauch ich doch nur wenn es einer Stelle in der Funktion gibt die nicht differenzierbar ist, oder?
Grüße,
Mareike
|
|
| |
|
Hallo Mareike,
Wenn du die "h"-Methode benutzt, musst du auch richtig einsetzen
Es ist doch für [mm] $x\ge [/mm] 0$ im Zähler [mm] $f(x_0+h)=\sin(0+h)=\sin(h)$
[/mm]
Was du mit deiner Fallunterscheidung für x machst, ist ja im Prinzip, dir den linksseitigen und den rechtsseitigen limes anzuschauen:
Für den linksseitigen limes näherst du dich mit x von unten der Null, also sind die x<0, also musst du die entsprechende Definition von f für diese x nehmen, und es ist
[mm] $\lim\limits_{x\uparrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\uparrow 0}\frac{x-0}{x}=\lim\limits_{x\uparrow 0}\frac{x}{x}=\lim\limits_{x\uparrow 0}1=1$
[/mm]
Für den rechtsseitigen GW näherst du dich "von oben" der Null, also sind die x>0, also ist hier [mm] $f(x)=\sin(x)$ [/mm] und damit
[mm] $\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}$
[/mm]
Und wogegen strebt [mm] $\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ ?
(Tipp: de l'Hôpital)
Wenn linksseitiger und rechtsseitiger GW existieren und beide gleich sind, so ist f in [mm] x_0=0 [/mm] diffbar
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Di 29.01.2008 | | Autor: | mareike-f |
Jep, danke dir!
Habs jetzt der Grenzwert ist:
[mm]\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}[/mm]
[mm]\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{cos(x)}{1}= \lim\limits_{x\downarrow 0} 1[/mm]
Grüße,
Mareike
|
|
|
|
