diophantische gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | es seien a,b [mm] \in\IZ [/mm] und n [mm] \in\IN [/mm] mit ggt(a,b)=1 und n>ab. beweisen sie, dass die diophantische gleichung ax+by=n eine lösung (x,y) x,y [mm] \in\IN [/mm] besitzt. |
ich hab mir überlegt, wenn [mm] (x,y)=(x_0,y_0) [/mm] eine spezielle lösung von ax+by=n ist, ist die allgemeine lösung ja:
L={(x,y) | [mm] (x_0+t,y_0-t) t\in\IZ [/mm] }
jetzt hab ich mir überlegt, dass man sich überlegen muss, in welchem intervall t liegt, damit lösungen in den natürlichen zahlen existieren:
[mm] x_0+t>0 [/mm] => [mm] t>-x_0
[/mm]
[mm] y_0-t>0 [/mm] => [mm] t
=> [mm] -x_0
wenn t in diesem intervall liegt existieren lösungen in den natürlichen zahlen.
jetzt hab ich die angabe n>ab noch nicht mit eingebaut. ich weiß aber auch nicht wie. vielleicht kann mir jemand nen tipp geben wie ich das mit verwursten kann.
Frohe Weihnachten,
Grafzahl 123
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Mo 24.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
denn ggT von a,b kann man (mit dem euklidschen alg. als ggT=r*a+s*b darstellen, r,s [mm] \inIZ
[/mm]
kommst du damit weiter?
Gruss leduart
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vielen dank für die antwort.
ich werds mal versuchen. wenn ich nicht weiter komme meld ich mich nochmal.
schöne weihnachten!!!
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ich bin irgendwie nicht wirklich weiter gekommen. ich hab versucht mit ner fallunterscheidung zu arbeiten. wann ist a*b<n:
1. fall: a<1 und b [mm] \in\IZ
[/mm]
2. fall [mm] a\in\IZ [/mm] und b<1
aber das hat auch zu nix sinnvollem geführt :-((
auch mit deinem tipp, dass aus ggt(a,b)=1 folgt: ar+bs=1 mit r,s [mm] \in\IZ [/mm] konnte ich irgendwie nix anfangen.
vielleicht hat ja noch wer ne idee wie ich weiter machen könnte. würde mich über ne antwort freuen.
schöne weihnachten,
grafzahl123
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Di 25.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was meinst du mit a<1 a,b sind doch ganze Zahlen und ob die negativ oder pos. sind spielt keine große Rolle.
Gruss leduart
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ich dachte ich müsste vielleicht ne fallunterscheidung machen, scheint aber schwachsinn gewesen zu sein. ich dachte wenn a<1 (also 0 oder negativ) gilt auf jeden fall die annahme wenn b aus den positiven zahlen ist....
naja, jetzt bin ich immer noch nicht wirklich weiter. hat jemand vielleicht noch nen anderen tipp an dem ich mich versuchen kann? würde mich freuen, mal n bissl abwechslung an den feiertagen 
schöne grüße,
grafzahl123
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Hallo Graf Zahl,
hier mal eine weihnachtliche Idee für [mm] a,b\in\IN. [/mm] Das ist der interessante Teil der Aufgabe, die übrigens schlecht gestellt ist. Ein Gegenbeispiel würde genügen: für $a,b<0$ ist die Aufgabe nicht lösbar, da $n>0$ ist und mit [mm] x,y\ge{0} [/mm] folgt, dass [mm] ax+by\le{0} [/mm] ist.
Man müsste entweder $n>|ab|$ annehmen, oder eben $a,b>0$, damit die Aufgabe sinnvoll wird.
Nehmen wir oBdA a<b an. Wegen (a,b)=1 gibt es nun für jedes m<b auch [mm] \ell,k
Das ist zu zeigen, denn ab da ist es ja ganz einfach, den Rest der Behauptung zu zeigen.
Und hier ist die Frage, was Du verwenden darfst - mit der multiplikativen Gruppen [mm] \mod{b} [/mm] wärst Du ja schnell fertig.
Reicht das als Idee?
Grüße
reverend
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erstmal vielen dank für die mühe die sich hier alle immer machen um auf die fragen zu antworten!
erst dachte ich: "ja, der tipp ist gut, damit sollte es klappen!" aber irgendwie verstehe ich nicht, warum dann eine lösung (x,y) [mm] \in\IZ [/mm] existiert.
wenn ich deinen tipp: l*a=k*b+m nutze, komme ich zu
[mm] [l*a]_b=[k*b+m]_b [/mm] => [mm] [l*a]_b=[k*b]_b+[m]_b[/mm] => [mm] [l*a]_b=[m]_b[/mm]
=> [mm] l*a\equiv [/mm] m mod b
mein problem ist jetzt, dass ich (noch) nicht sehe, warum jetzt lösungen von ax+by=n mit [mm] x,y\in\IN [/mm] existieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 29.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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