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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 16.06.2009 | | Autor: | blink23 |
| Aufgabe | Seien I eine Menge, [mm] $(R_{i})_{i \in I}$ [/mm] eine Familie von Ringen, $R= [mm] \produkt_{i \in I} R_{i}$ [/mm] der Produktring und für $i [mm] \in [/mm] I$ sei [mm] $p_{i}: [/mm] R [mm] \to R_{i}$ [/mm] die i-Projektion. Zeigen sie:
(i) Für jeden Ring $S$ und jede Familie [mm] $(f_{i})_{i \in I}$ [/mm] von Ringhomomorphismen [mm] $f_{i}: [/mm] S [mm] \to R_{i}$ [/mm] gibt es genau einen Ringhomomorphismus $f:S [mm] \to [/mm] R$ mit [mm] $p_{i} \circ [/mm] f = [mm] f_{i}$ [/mm] für jedes $i [mm] \in [/mm] I$. |
Der Punkt (ii) der Aufgabe ist egal (deshalb auch nicht angeführt^^).
Zu (i): Man muss ja die Existenz und die Eindeutigkeit zeigen. Die Eindeutigkeit ist ja kein Problem, aber die Existenz.
Meine erste Frage: Wie zeigt man die Existenz einer solchen Abbildung?
Und zweitens: Wenn es so eine Abbildung gibt, dann muss ich schon noch zeigen, dass sie ein Ringhomomorphismus ist, oder?
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Di 16.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Meine erste Frage: Wie zeigt man die Existenz einer
> solchen Abbildung?
Der einfachste Weg ist natürlich, die Abbildung direkt zu konstruieren, das kann man hier tun. Wir müssen erklären, wie f durch Elemente aus R auf Elemente aus S antworten soll - was ist wohl naheliegender, als zu definieren [mm] $f:S\ni s\mapsto (f_i(s))_{i\in I}\in [/mm] R$...?
Meistens bekommt man durch den Beweis der Eindeutigkeit auch schon eine Idee, wie die Abbildung aussehen müsste.
> Und zweitens: Wenn es so eine Abbildung gibt, dann muss
> ich schon noch zeigen, dass sie ein Ringhomomorphismus ist,
> oder?
Richtig, das musst du noch tun, aber auch das ist ganz kanonisch...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 16.06.2009 | | Autor: | blink23 |
> Der einfachste Weg ist natürlich, die Abbildung direkt zu
> konstruieren, das kann man hier tun. Wir müssen erklären,
> wie f durch Elemente aus R auf Elemente aus S antworten
> soll - was ist wohl naheliegender, als zu definieren [mm]f:S\ni s\mapsto (f_i(s))_{i\in I}\in R[/mm]...?
>
> Meistens bekommt man durch den Beweis der Eindeutigkeit
> auch schon eine Idee, wie die Abbildung aussehen müsste.
ok, ich weiß folgendes: sei $s [mm] \in [/mm] S$, dann existieren für alle $i [mm] \in [/mm] I$ [mm] $r_{i} \in R_{i}$ [/mm] mit [mm] $f(s)=(r_{i})_{i \in I}$. [/mm] nun lässt man darauf die i-te projektion wirken, also [mm] $p_{i}(f(s))=p_{i}((r_{i})_{i \in I})=r_{i}=f_{i}(s)$. [/mm] Ist hierbei aber nicht das problem, dass ich die abbildung f schon haben muss?
oder kann ich einfach sagen, ich definiere mir mein
$f : S [mm] \to [/mm] R$
$ s [mm] \mapsto (f_{i}(s))_{i \in I}$.
[/mm]
> Richtig, das musst du noch tun, aber auch das ist ganz
> kanonisch...
ok, das ist dann wirklich nur mehr eigenschaften nachrechnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Di 16.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> hierbei aber nicht das problem, dass ich die abbildung f
> schon haben muss?
Ja, das ist das Problem.
> oder kann ich einfach sagen, ich definiere mir mein [mm]f : S \to R, s \mapsto (f_{i}(s))_{i \in I}[/mm].
Genau. Du definierst erst irgenwas, und dann zeigst du, dass diese Abbilduung die gewünschten Eigenschaften hat.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 16.06.2009 | | Autor: | blink23 |
ok, mir ist es jetzt klar. ich weiß ja wie das $f$ gebildet wird und wie die elemente aus $S$ abgebildet werden.
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