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| Aufgabe | | Sei X [mm] \not= \emptyset [/mm] ausgestattet mit der Diskreten Metrik [mm] d_{disc}. [/mm] Bestimmen sie alle konvergenten Folgen von [mm] (X,d_{disc}) [/mm] |
Hallo, ich bin leider noch kein Student, aber würde trotzdem gerne wissen wie man das rechnet.
Ich hab mir soweit gedacht, das die Aufgabe etwas mit konstanten Folgen zu tun hat, kann es aber nicht beweisen, kann mir da jemand helfen und mir den Beweis auch zeigen, bevor er die aufgabe löst...
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 So 13.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Sei X [mm]\not= \emptyset[/mm] ausgestattet mit der Diskreten
> Metrik [mm]d_{disc}.[/mm] Bestimmen sie alle konvergenten Folgen von
> [mm](X,d_{disc})[/mm]
Zuerst soll man sich klar machen wie die diskrete Metrik [mm] d_{disc}=:d [/mm] ausschaut:
d(x,x)=0 und d(x,y)=1 für alle [mm] x\not=y. [/mm]
> Ich hab mir soweit gedacht, das die Aufgabe etwas mit
> konstanten Folgen zu tun hat, kann es aber nicht beweisen,
> kann mir da jemand helfen und mir den Beweis auch zeigen,
> bevor er die aufgabe löst...
Deine Vermutung ist schon richtig: nur Folgen [mm] x_{n}, [/mm] die ab einem [mm] \overline{n} [/mm] an konstant sind, konvergieren. Am Einfachste beweist man das mit folgender Definition der Folgen-konvergenz:
[mm] x_{n} [/mm] konvergiert g.d.w. [mm] d(x_{n},x_{n+1})\rightarrow [/mm] 0.
Gruß,
dormant
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