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| Aufgabe | | Welche teilmengen von X bilden die offenen kugeln bzgl. der diskreten metrik [mm] d_{D}: [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR, d_{D}(x,y) \mapsto [/mm] {0 falls x=y; 1 falls [mm] x\not=y} [/mm] ? Wie müssen demnach die konvergenten Folgen aussehen? |
hab jetzt mal probiert, die kugeln zu bilden, hab aber leider das system noch nicht so ganz verstanden: B(z,r)={y [mm] \in [/mm] X | 1<r}
B(z,r)= {y [mm] \in [/mm] X | 0<r}
stimmt das so? wohl eher nicht oder? das mit den konv. folgen versteh ich nicht. hat iwer nen hinweis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Sa 28.11.2009 | | Autor: | sepp-sepp |
hat denn keiner eine idee dazu??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 So 29.11.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> hab jetzt mal probiert, die kugeln zu bilden, hab aber
> leider das system noch nicht so ganz verstanden:
> [mm] $B(z,r)=\{y \in X | 1
> $B(z,r)= [mm] \{y \in X | 0
Das eigenartige an Deinen Kugeln ist, dass da nirgends der Mittelpunkt z auftaucht, da sollte man schon nachdenklich werden.
Es ist doch allgemein
$B(z,r) = [mm] \{y \in X | d(z,y)
Jetzt untersuche doch mal mit der gegeben Metrik $d$ für einen beliebigen Mittelpunkt $z$ die Kugeln mit den Radien [mm] \frac{1}{2}, [/mm] 1, 2.
Fällt Dir da vielleicht was auf? Was für Kugeln gibt es demnach?
> stimmt das so? wohl eher nicht oder? das mit den konv.
> folgen versteh ich nicht. hat iwer nen hinweis?
$z$ ist ja Grenzwert einer Folge, wenn für beliebig kleinen Radius $r > 0$ schließlich alle Folgenglieder in einer Kugel $B(z,r)$ liegen. Was bedeutet das nun, wenn man z.B. [mm] $r=\frac{1}{2}$ [/mm] (oder noch kleiner) setzt?
Gruß
piet
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hieße das für 0<r<1 dass z=y ist? dh. dass der rdius der kugel 0 ist? und entsprechend dann bei r>1 der r. 1 ist oder was?versteh es leider immer noch nicht ganz. was meinst du damit, wenn du sagst ich soll die kugeln für best. radien untersuchen? stimmt das so wie oben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 29.11.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> hieße das für 0<r<1 dass z=y ist? dh. dass der rdius der
> kugel 0 ist?
z=y ist etwas unglücklich formuliert. Aber stimmt, es ist so, dass für $0<r [mm] \le [/mm] 1$ die Kugel nur aus dem Punkt z besteht. Aber Achtung: der Radius (bezüglich unserer modifizierten Metrik) ist immer noch r.
> und entsprechend dann bei r>1 der r. 1 ist
> oder was?versteh es leider immer noch nicht ganz. was
> meinst du damit, wenn du sagst ich soll die kugeln für
> best. radien untersuchen? stimmt das so wie oben?
Für welche Punkte $y [mm] \in [/mm] X$ gilt denn, dass beispielsweise $d(y,z) < 2$ ist?
Gruß
piet
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das müsste doch eigentlich für alle y gelten oder?wie formulier ich dann die antwort am besten? fallunterscheidung für 0<r<1 und r>1 oder wie mach ich das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 29.11.2009 | | Autor: | piet.t |
> das müsste doch eigentlich für alle y gelten oder?wie
> formulier ich dann die antwort am besten?
> fallunterscheidung für 0<r<1 und r>1 oder wie mach ich
> das?
Genau. Den Fall r=1 aber nicht vergessen.
Also:
Für $0<r [mm] \le [/mm] 1$ ist B(z,r) = ...
Für $r>1$ ist B(z,r) = ...
...und dann natürlich die Zusatzfrage nicht vergessen: was bedeutet das für die Konvergenz von Folgen?
Gruß
piet
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ist diese schreibweise ok?:
für 0<r [mm] \le [/mm] 1: B(z,r)= {y [mm] \in [/mm] X: d(z,y)=0}
r>1 : B(z,r)={y [mm] \in [/mm] X: d(z,y)=1}
wegen den konvergenten folgen: heißt das, dass eine teilfolge [mm] a_{n} \to [/mm] 0 konvergiert für 0<r [mm] \le [/mm] 1 und die andere gegen 1 für r>1 oder welche folgen sind damit eigentlich gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 29.11.2009 | | Autor: | piet.t |
> ist diese schreibweise ok?:
Ich würde da noch etwas weiterschreiben, denn an Deiner Darstellung kommt das wesentliche noch nicht so richtig zum Ausdruck:
für $0<r [mm] \le [/mm] 1$: $B(z,r)= [mm] \{y \in X: d(z,y)=0\} [/mm] = [mm] \{z\}$, [/mm] also besteht die "Kugel" nur aus ihrem Mittelpunkt
für $r>1$ : [mm] $B(z,r)=\{y \in X: d(z,y)=1\} [/mm] = X$, also ist die Kugle der gesamte metrische raum.
>
> wegen den konvergenten folgen: heißt das, dass eine
> teilfolge [mm]a_{n} \to[/mm] 0 konvergiert für 0<r [mm]\le[/mm] 1 und die
> andere gegen 1 für r>1 oder welche folgen sind damit
> eigentlich gemeint?
Wenn Du eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] gegeben hast, die auf Konvergenz untersucht werden soll, dann ist von einem $r$ ja noch gar nicht die Rede.
Vermutet man, dass [mm] $(a_n)$ [/mm] gegen $a$ konvergiert, so muss man prüfen, ob bei einem beliebig klein vorgegebenen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ab einem gewissen $N$ alle Folgenglieder in einer [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von a liegen, d.h. in einer Kugel [mm] $B(a,\varepsilon)$.
[/mm]
Wenn ich Dir jetzt [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] vorgebe, was bedeutet das dann für die Folgenglieder [mm] $(a_n)$ [/mm] mit $n > N$?
Gruß
piet
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also die folge [mm] a_{n} [/mm] war ja grundsätzlich noch nicht gegeben, sondern ist von mir erfunden weil ja in der aufgabenstellung die rede von konvergenten folgen die rede ist. nun weiß ich immer noch nicht recht welche folgen da gemeint sind. die frage lautet ja, wie müssen demnach die konvergenten folgen aussehen? nun frag ich mich, welche da gemeint sein sollen. hab ja nirgends eine vorschrift wie sie aussehen sollen. oder ist da die abbildungsvorschrift der metrik gemeint?
ich probiers jetzt einfach mal mit der beliebigen folge [mm] a_{n}: [/mm] Vermutung, [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen a: [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \forall [/mm] n> N d(a,y)< [mm] \varepsilon
[/mm]
sei nun [mm] \varepsilon [/mm] = 0,5. => für n>N liegen die folgeglieder in der kugel B(a, 0,5). da für 0 < r [mm] \le [/mm] 1 die kugel aus ihrem mittelp. (=a) besteht, folgt [mm] a_{n} \to [/mm] a
ist das eine gute überlegung? und wie beweise ich dass das a =0 ist? oder kann man das gar nicht so einfach sagen? und v.a. bin ich nicht sicher, ob das die aufgabe beantwortet, wie die konv.folgen aussehen solln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 So 29.11.2009 | | Autor: | piet.t |
> also die folge [mm]a_{n}[/mm] war ja grundsätzlich noch nicht
> gegeben, sondern ist von mir erfunden weil ja in der
> aufgabenstellung die rede von konvergenten folgen die rede
> ist. nun weiß ich immer noch nicht recht welche folgen da
> gemeint sind. die frage lautet ja, wie müssen demnach die
> konvergenten folgen aussehen? nun frag ich mich, welche da
> gemeint sein sollen. hab ja nirgends eine vorschrift wie
> sie aussehen sollen. oder ist da die abbildungsvorschrift
> der metrik gemeint?
Nein, du sollst alle möglichen Folgen in $X$ betrachten.
> ich probiers jetzt einfach mal mit der beliebigen folge
DAs ist schon mal ein guter Ansatz.
> [mm]a_{n}:[/mm] Vermutung, [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a: [mm]\exists \varepsilon[/mm]
> > 0: [mm]\forall[/mm] n> N d(a,y)< [mm]\varepsilon[/mm]
Nein, sondern es ist zu zeigen, dass [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \quad a_n \in B(a,\varepsilon) \forall [/mm] n > N$. (So ist Konvergenz von Folgen nun mal definiert)
> sei nun [mm]\varepsilon[/mm] = 0,5.
> => für n>N liegen die folgeglieder in der kugel B(a, 0,5).
Besser: wenn die Folge konvergiert, dann müssen die Folgenglieder in $B(a,0,5)$ liegen.
> da für 0 < r [mm]\le[/mm] 1
> die kugel aus ihrem mittelp. (=a) besteht, folgt [mm]a_{n} \to[/mm]
> a
Nein, das folgt so nicht. Wie oben müssen die [mm] a_n [/mm] in der Kugel liegen, wenn die Folge konvergiert. Tun sie das nicht konvergiert die Folge eben nicht. Was bedeutet es aber, wenn alle [mm] a_n [/mm] in einer Kugel liegen müssen, die nur aus dem Punkt $a$ besteht??
> ist das eine gute überlegung? und wie beweise ich dass
> das a =0 ist?
Warum sollte $a=0$ sein? $a$ ist ja im allgemeinen noch nicht einmal eine Zahl, sondern nur irgend ein Dingsbums aus dem metrischen Raum X. Was weiss denn ich, was da drin ist, vielleicht ja Goldfische oder Bleistiftanspitzer 
>oder kann man das gar nicht so einfach sagen?
> und v.a. bin ich nicht sicher, ob das die aufgabe
> beantwortet, wie die konv.folgen aussehen solln?
Nochmal grob das Argumentationsmuster, um die konvergenten Folgen zu beschreiben:
Wenn [mm] $(a_n)$ [/mm] gegen $a$ konvergiert, dann müssen ab einem $N$ alle Folgenglieder in einer "kleinen" Kugel liegen. Und was bedeutet das dann bei den hier vorliegenden "speziellen" Kugeln?
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da die kugel nur aus dem mittelpunkt a besteht, müssen die folgeglieder in dieser kugel liegen, das heißt sie haben alle denselben grenzwert a für beliebig kleines [mm] \varepsilon
[/mm]
passt das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mo 30.11.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> da die kugel nur aus dem mittelpunkt a besteht, müssen die
> folgeglieder in dieser kugel liegen, das heißt sie haben
> alle denselben grenzwert a für beliebig kleines
> [mm]\varepsilon[/mm]
> passt das jetzt?
Dass die Folge den Grenzwert a hat haben wir ja vorausgesetzt.
Das entscheidende ist aber: liengen alle Folgenglieder [mm] $a_n$ [/mm] für $n>N$ in $B(a,0,5)$, dann gilt doch [mm] $a_n [/mm] = a$ für alle $n>N$ (da die Kugel ja nur aus einem Punkt besteht).
Also ist die Folge (evtl. bis auf endlich viele Glieder am Anfang) konstant.
Fazit: bezüglich dieser Metrik ist eine Folge genau dann konvergent, wenn sie (bis auf endlich viele Ausnahmen) konstant ist.
Mach Dir das vielleicht nochmal an einem Beispiel klar: setzen wir [mm] $X=\IR$ [/mm] und betrachten die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$.
[/mm]
Versuche mal zu zeigen, warum diese bezüglich der diskreten Metrik keinen Grenzwert (also insbesondere nicht 0) besitzt.
Gruß
piet
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