www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - divergenz und konvergenz
divergenz und konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

divergenz und konvergenz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:06 Fr 11.12.2009
Autor: christinchen19

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Wie gehe ich an die folgende Aufgabe heran:

Untersuchen sie, für welche x E R die Reihe  

Summe(k=1, unendlich)   2+e(Exponent)-kx²/k²

konvergiert,für welche sie divergiert.



        
Bezug
divergenz und konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Fr 11.12.2009
Autor: reverend

Hallo christinchen19,

es wäre nett, wenn Du dich mit dem Formeleditor vertraut machen würdest. So kann man das nicht eindeutig entziffern.
Eingabehilfen findest Du unter dem Eingabefenster (vielleicht musst Du da noch das blaue [+] anklicken), ausführlicher auch hier.

Lass Dir mal den Quelltext anzeigen, dann siehst Du, wie ich das eingegeben habe:

> Wie gehe ich an die folgende Aufgabe heran:
>  
> Untersuchen sie, für welche [mm] x\in\IR [/mm] die Reihe  
>
> Summe(k=1, unendlich)   2+e(Exponent)-kx²/k²

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm]

So? Oder wie?

> konvergiert,für welche sie divergiert.

Das wäre die Aufgabe, vielleicht jedenfalls.
Und was ist nun Deine Frage dazu?

Hast Du einen eigenen Ansatz?

lg
reverend

Bezug
                
Bezug
divergenz und konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Fr 11.12.2009
Autor: christinchen19

also ich dachte ich mache das mit dem quotientenkriterium

also bilde ich [mm] \left |\bruch{a_n_+_1}{a_n}\right| [/mm]

aber was ich weiß weder was danach anstelle ist noch wie ich dieses quotientenkirterium der konvergenz zu verstehen habe.
[mm] \summe_{k=1}^{infinity}a_k [/mm] ist konvergent wenn für q
0<q<1 gilt aber was ist dieses q?

Bezug
                        
Bezug
divergenz und konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Fr 11.12.2009
Autor: pelzig

Nur mal so als Tipp: [mm] $|e^{-kx^2}|\le [/mm] 1$ für alle [mm] $(x,k)\in\IR\times\IN$ [/mm] und benutze das Majorantenkriterium.

Gruß, Robert

Bezug
                                
Bezug
divergenz und konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Fr 11.12.2009
Autor: christinchen19

es tut mir wirklich leid aber ich verstehe nicht was dieses [mm] b_k [/mm] dann darstellt
[mm] b_k [/mm] >=0 für alle k
und es ein [mm] N_0 [/mm] gibt (Wie berechne ich das?)
daraus folgt dann [mm] |a_k| [/mm] <= [mm] b_k [/mm]

und das heißt dann die folge von [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] konvergiert?

wie wende ich das in der praxis an bzw an der aufgabe?

ich steh wirklich auf dem schlauch

Bezug
                                        
Bezug
divergenz und konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Fr 11.12.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Christina,

> es tut mir wirklich leid aber ich verstehe nicht was dieses
> [mm]b_k[/mm] dann darstellt
>  [mm]b_k[/mm] >=0 für alle k

Was ist denn [mm] $b_k$? [/mm]

Das steht hier nirgends im post.

Meinst du damit die Glieder der Majorante?

Du solltest mal versuchen, deine Fragen präziser zu formulieren, so dass man sie verstehen kann.

Weißt du, dass die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ [/mm] konvergent  ist?

Die kannst du dann als (konvergente) Majorante heranziehen.

Du musst zu deiner Ausgangsreihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2+e^{-kx^2}}{k^2}$ [/mm] eine konvergente Majorante [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ [/mm] finden.

Betrachte dazu [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left|\frac{2+e^{-kx^2}}{k^2}\right|$ [/mm]

Benutze zum einen die Dreiecksungleichung, zum anderen die Abschätzung aus Roberts Antwort und du solltest auf eine passende Majorante kommen (eine Variante der o.a. Reihe, also [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{M}{k^2}=M\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$) [/mm]

Geh's mal an ...

>  und es ein [mm]N_0[/mm] gibt (Wie berechne ich das?)
>  daraus folgt dann [mm]|a_k|[/mm] <= [mm]b_k[/mm]
>  
> und das heißt dann die folge von [mm]a_k[/mm] und [mm]b_k[/mm] konvergiert?
>  
> wie wende ich das in der praxis an bzw an der aufgabe?
>  
> ich steh wirklich auf dem schlauch

LG

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
divergenz und konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 Sa 19.12.2009
Autor: etoxxl

Ist dies richtig aufgeschrieben?

Aus der Reihe: $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm] $
betrachte ich die Folge [mm] \bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm]
Da 2 > 0 und e^(beliebig was) > 0 und [mm] k^2 [/mm] > 0 gilt :

[mm] \bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm] = | [mm] \bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm] |

und [mm] |\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}| [/mm] = | [mm] \bruch{2}{k^2} [/mm] + [mm] \bruch{e^{-kx^2}}{k^2}| \le |\bruch{2}{k^2}| [/mm] + [mm] |\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}| [/mm]

Da e^(eine negative Zahl) < 1 gilt [mm] |\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm]
und damit gilt [mm] |\bruch{2}{k^2}| [/mm] + [mm] |\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}| [/mm] < [mm] \bruch{2}{k^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{k^2} [/mm]

Also ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm] < [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{k^2} [/mm]

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{k^2} [/mm] ist also konvergente Majorante von [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm]
und damit kovergiert auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
divergenz und konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Sa 19.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Ist dies richtig aufgeschrieben?

Hallo,

ich habe sehr gut folgen können.
Eventuell schiebst Du unten noch was dazwischen:

>  
> Aus der Reihe:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm]
>  betrachte ich die Folge [mm]\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm]
>  Da 2 > 0 und e^(beliebig was) > 0 und [mm]k^2[/mm] > 0 gilt :

>  
> [mm]\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm] = | [mm]\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm] |
>  
> und [mm]|\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}|[/mm] = | [mm]\bruch{2}{k^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}| \le |\bruch{2}{k^2}|[/mm] +
> [mm]|\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}|[/mm]
>  
> Da e^(eine negative Zahl) < 1 gilt [mm]|\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}|[/mm]
> < [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm]
>  und damit gilt [mm]|\bruch{2}{k^2}|[/mm] + [mm]|\bruch{e^{-kx^2}}{k^2}|[/mm]
> < [mm]\bruch{2}{k^2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{k^2}[/mm]
>  
> Also ist [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm] <
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{k^2}[/mm]

Da [mm] \summe\bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert, konvergiert [mm] 3\summe\bruch{1}{k^2} =\summe\bruch{3}{k^2}. [/mm]

>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3}{k^2}[/mm] ist also konvergente
> Majorante von
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm]
>  und damit kovergiert auch
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+e^{-kx^2}}{k^2}[/mm]  

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                
Bezug
divergenz und konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:36 Sa 19.12.2009
Autor: etoxxl

Alles klar, danke!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de