diverse Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Ingenium |
Moinssen Leute,
wollte die Lösungen einiger Integrale erfahren. Benötige keinen Lösungsweg, es sei denn, ihr habt diesen schon griffbereit. Besten Dank für Eure Bemühungen im voraus!
[mm] \integral [/mm] {(cos [mm] x)^4 [/mm] dx}
[mm] \integral [/mm] {(sin [mm] x)^4 [/mm] dx}
[mm] \integral {(sin^2 x cos^2 x) dx}
[/mm]
[mm] \integral [/mm] {2^(x+1) dx}
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ingenium,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Moinssen Leute,
>
> wollte die Lösungen einiger Integrale erfahren. Benötige
> keinen Lösungsweg, es sei denn, ihr habt diesen schon
> griffbereit. Besten Dank für Eure Bemühungen im voraus!
als Lösungsmaschine verstehen wir uns nicht.
Da mußt Du schon ein paar Ansätze anbringen, damit Dir gezielt geholfen werden kann.
>
> [mm]\integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(cos [mm]x)^4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
>
> [mm]\integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(sin [mm]x)^4[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
>
> [mm]\integral {(sin^2 x cos^2 x) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral[/mm] {2^(x+1) dx}
>
Diese Integrale löst Du alle mit partieller Integration lösen.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Sa 24.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ingenium!
Beim letzten Integral hilft keine partielle Integration, aber folgende Umformung im Vorfeld:
[mm] $2^{x+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^x*2^1 [/mm] \ = \ [mm] 2*2^x [/mm] \ = \ [mm] 2*\left( \ e^{\ln(2)} \ \right)^x [/mm] \ = \ [mm] 2*e^{x*\ln(2)}$
[/mm]
Nun Substitution $z \ := \ [mm] x*\ln(2)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Ingenium |
Schon mal vielen Dank und natürlich auch für den Hinweis. Zwischenzeitlich habe ich die Integrale nochmal überarbeitet und komme zu folgendes:
Zu erst einmal zum letzten Integral:
Dieses lautet ursprünglich [mm] \integral [/mm] {((1+x) [mm] y^x)dy}
[/mm]
Wenn ich nun die partielle Integration anwende mit u'(y) = [mm] y^x, [/mm] u(y) = [mm] \bruch{y^(x+1)}{x+1}, [/mm] v(y) = 1+x und v'(y) = 0
(Ist dies richtig, kann man auf diese Weise u'(y) linear integrieren?!)
erhalte ich die Gleichung
[mm] \integral [/mm] {((1+x) [mm] y^x)dy} [/mm] = [mm] \bruch{y^(x+1)}{x+1} \* [/mm] (1+x)
= y^(x+1) + c
Dieses nun erhaltene Integral ergibt in den Grenzen y = 2 und y = 1 folglich 2^(x+1) + c
Ist dies soweit korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Ingenium |
Ach, stimmt ja ... tatsächlich habe ich das alles etwas umständlich dargelegt. Diesem Integral geht die Funktion f(x,y) = (1+x) [mm] y^x [/mm] voraus, bei der in dem Bereich (x,y) = [0,1] x [1,2] das Flächenintegral [mm] \integral \integral [/mm] {f(x,y) dxdy} gesucht wird.
Folglich bekomme ich also Dank Deines Lösungsansatzes für 2e^(x ln(2)) mit der Substitution z = x ln (2) das [mm] \integral {2e^z dz} [/mm] = [mm] 2e^z [/mm] heraus. Die Grenzen eingesetzt erhalte ich demnach 2e^(1 ln (2)) - 2e^(0 ln (2)) = 4 - 2 = 2 Flächeneinheiten.
Kann man im übrigen Beiträge nachträglich editieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ingenium!
Da ist Dir bei der Substitution noch ein Fehler unterlaufen. Du musst auch das Differential $dx_$ korrekt substituieren durch $dz_$ :
[mm] $\integral{2^{x+1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2*\integral{e^{x*\ln(2)} \ \red{dx}} [/mm] \ = \ [mm] 2*\integral{e^z \ \red{\bruch{dz}{\ln(2)}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\ln(2)}*\integral{e^z \ dz} [/mm] \ =\ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Ingenium |
| Aufgabe | Es sei die geschlossene Kurve (Hypozykloide) [mm] \gamma [/mm] : [0,2 [mm] \pi] \to R^2, \gamma [/mm] (t) = [mm] \vektor{x (t)\\ y (t)} [/mm] mit x(t) = a (2 cos (t) + cos (2t)), y(t) = a (2 sin (t) - sin (2t)), gegeben. dabei sei a > 0 eine feste Zahl. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von dieser kurve eingeschlossen ist.
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Da ich offensichtlich etwas kompliziert und umständlich an die Integralrechnung herangetreten bin, hier auch nochmal der erste eigene Lösungsansatz zu den bereits am Anfang des Threads gestellten Integrationsproblemen:
Zunächst einmal habe ich x(t) nach x'(t) = a (-2sin(t) - sin (2t)) und y(t) nach y'(t) = a (2cos(t) - cos (2t)) abgeleitet, um nun mit der Leibniz-Sektorfomel
F = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | [mm] \integral [/mm] {[x(t) y'(t) - y(t) x'(t)] dt} |
die Fläche bestimmen zu können!
Eingesetzt erhalte ich
F = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | [mm] \integral_{0}^{2 \pi} [/mm] {[a (2 cos (t) + cos (2t)) a (2cos(t) - cos (2t)) - a (2 sin (t) - sin (2t)) a (-2sin(t) - sin (2t))] dt} |
Da sich in der folgenden Vereinfachung das ein oder andere miteinander aufaddiert, entsteht das Integral
F = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | [mm] \integral_{0}^{2 \pi} [/mm] {[ [mm] 4a^2 cos^2 [/mm] (t) - [mm] a^2 cos^2 [/mm] (2t) + [mm] 4a^2 sin^2 [/mm] (t) - [mm] a^2 sin^2 [/mm] (2t)] dt} |
mit Hilfe der Formeln der Winkelverdopplung und -halbierung
cos (2t) = [mm] cos^2 [/mm] t - [mm] sin^2 [/mm] t = 2 [mm] cos^2 [/mm] t - 1,
sin (2t) = 2 sin t cos t sowie
(cos [mm] t)^2 [/mm] + (sin [mm] t)^2 [/mm] = 1
ergibt sich das Integral
F = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | [mm] \integral_{0}^{2 \pi} [/mm] {[ [mm] 4a^2 [/mm] - [mm] a^2 (cos^2 [/mm] t - [mm] sin^2 [/mm] t) [mm] (cos^2 [/mm] t - [mm] sin^2) [/mm] - [mm] a^2 [/mm] (2 sin t cos t) (2 sin t cos t) ] dt} |
F = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | [mm] \integral_{0}^{2 \pi} [/mm] {[ [mm] 4a^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] ( (cos [mm] t)^4 [/mm] - [mm] sin^2 [/mm] t [mm] cos^2 [/mm] t - [mm] sin^2 [/mm] t [mm] cos^2 [/mm] t + (sin [mm] t)^4 [/mm] - [mm] 4a^2 sin^2 [/mm] t [mm] cos^2 [/mm] t) ] dt} |
F = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | [mm] \integral_{0}^{2 \pi} [/mm] {[ [mm] 4a^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] ( (cos [mm] t)^4 [/mm] - [mm] 2a^2 sin^2 [/mm] t [mm] cos^2 [/mm] t - [mm] a^2 [/mm] (sin [mm] t)^4 [/mm] ] dt} |
So, das soweit Lösungsansatz und daher die Frage nach der Lösung von den Hammerintegralen. Mit diesen werde ich mich dann zwangsläufig nun auseinander setzen. Oder aber ist es zuvor möglich Terme wie (cos [mm] t)^4 [/mm] - (sin [mm] t)^4 [/mm] a la (cos [mm] t)^2 [/mm] + (sin [mm] t)^2 [/mm] = 1 zu vereinfachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ingenium!
Ich habe mir Deinen Rechenweg nicht genau angesehen geschweige denn kontrolliert.
Aber für [mm] $\cos^4(t)-\sin^4(t)$ [/mm] lässt sich mit Hilfe der 3. binomischen Formel sowie dem trigonometrischen Pythagoras schreiben:
[mm] $\cos^4(t)-\sin^4(t) [/mm] \ = \ [mm] \left[\cos^2(t)-\sin^2(t)\right]*\left[\cos^2(t)+\sin^2(t)\right] [/mm] \ = \ [mm] \left[\cos^2(t)-\sin^2(t)\right]*1 [/mm] \ = \ [mm] \cos^2(t)-\sin^2(t) [/mm] \ = \ [mm] \cos(2t)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Ingenium,
> Es sei die geschlossene Kurve (Hypozykloide) [mm]\gamma[/mm] : [0,2
> [mm]\pi] \to R^2, \gamma[/mm] (t) = [mm]\vektor{x (t)\\ y (t)}[/mm] mit
> x(t) = a (2 cos (t) + cos (2t)), y(t) = a (2 sin (t) - sin
> (2t)), gegeben. dabei sei a > 0 eine feste Zahl. Berechnen
> Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von dieser kurve
> eingeschlossen ist.
>
>
> Da ich offensichtlich etwas kompliziert und umständlich an
> die Integralrechnung herangetreten bin, hier auch nochmal
> der erste eigene Lösungsansatz zu den bereits am Anfang des
> Threads gestellten Integrationsproblemen:
>
> Zunächst einmal habe ich x(t) nach x'(t) = a (-2sin(t) -
> sin (2t)) und y(t) nach y'(t) = a (2cos(t) - cos (2t))
> abgeleitet, um nun mit der Leibniz-Sektorfomel
> F = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] | [mm]\integral[/mm] {[x(t) y'(t) - y(t) x'(t)]
> dt} |
> die Fläche bestimmen zu können!
>
> Eingesetzt erhalte ich
>
> F = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] | [mm]\integral_{0}^{2 \pi}[/mm] {[a (2 cos (t) +
> cos (2t)) a (2cos(t) - cos (2t)) - a (2 sin (t) - sin (2t))
> a (-2sin(t) - sin (2t))] dt} |
Hier ist der erste Fehler passiert.
>
>
> Da sich in der folgenden Vereinfachung das ein oder andere
> miteinander aufaddiert, entsteht das Integral
>
> F = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] | [mm]\integral_{0}^{2 \pi}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{[ [mm]4a^2 cos^2[/mm]
> (t) - [mm]a^2 cos^2[/mm] (2t) + [mm]4a^2 sin^2[/mm] (t) - [mm]a^2 sin^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(2t)]
> dt} |
Das ist dann ein Folgefehler.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Do 29.12.2005 | | Autor: | Ingenium |
Tja, also nochmal vielen Dank für die Hilfe. Der Tip mit der 3. binomischen Formel hat nicht ganz hingehauen (wegen Vorzeichen), dafür aber die 2., wodurch sich alles in Nix auflöst und man am Ende, eingesetzt in den Grenzen, eine Lösung für die Fläche mit 3 [mm] \pi a^2 [/mm] erhält.
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Potenzregel![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Zum ersten entfällt bei bestimmten Integralen die Integrationskonstante $C_$ , zum anderen hast Du die untere Grenze $1_$ unterschlagen:
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
(siehe Deine Ausgangsfrage) ?
