doppelte, 3fache Nullstellen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wenn ich für eine quadratische Funktion [mm] ax^2+bx+c=0 [/mm]
die Lösungen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] habe, kann ich die Funktion doch darstellen als [mm] (x-x_{1}) (x-x_{2})
[/mm]
Das geht auch bei kubischen Funktionen, Funktionen mit [mm] ax^4.... [/mm] u.s.w
Meine Frage: geht das auch, wenn ich nur eine Nulstelle habe? Also [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}...?
[/mm]
Ich habe gestern herumprobiert und irgendwie haut das nicht hin. (Meistens, bei einigen Funktionen aber doch)
Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich da nicht einfach auf dem Holzweg bin.
Gibt es einfach noch einen Unterschied zwischen tatsächlich nur einer Nullstelle und einer doppelten/dreifachen Nullstelle?
Bin drüber gestolpert beim Zerlegen von Funktionen in "Primpolynome"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 16.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Liebe Tuxine,
Grundsätzlich kannst Du jedes Polynom vom Grade n>0 in n aus den
n Nullstellen gewonnene Linearfaktoren zerlegen:
[mm] p=a_n*x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}*x^{n-1}+ [/mm] ... + [mm] a_0 [/mm] = [mm] (x-NST_1)*...*(x-NST_n)
[/mm]
Vorausgesetzt der Körper über
dem Du rechnest ist "algebraisch abgeschlossen" (was bei der
Menge der Menge der komplexen Zahlen der Fall ist. Die Algebraiker
haben sich da so darüber gefreut, dass sie diese Tatsache den
"Hauptsatz der Algebra" getauft haben.)
Dabei ist aber nicht gesagt, dass die ganzen Nullstellen
[mm] NST_1, [/mm] ..., [mm] NST_n
[/mm]
alle paarweise verschieden sind. So hat zum Beispiel das
viertgradige Polynom
p(x) = (x-2) * (x-2) * (x+1) * x
Die Nullstellen 0, -1 mit einfacher und +2 mit doppelter Vielfachheit.
Insgesamt zählt man 4 Nullstellen: 0,-1,2 und 2.
Ich hoffe das beantwortet Deine Frage!
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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"Ich hoffe das beantwortet Deine Frage!"
ähm...nö 
Irgendwie andersrum..
wenn ich z.B. ein Polynom dritten Gerades mit nur einer Nullstelle habe, wie zerlege ich das in Linearfaktoren? Ich hatte ja gedacht, ich gehe einfach aus von: [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3} [/mm] und kann es dann halt zerlegen in [mm] (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})
[/mm]
Funktioniert aber nicht
konkretes Beispiel (an dem bin ich drüber gestolpert)
[mm] X^3-2=0 [/mm] (einzige) Nullstelle ist [mm] x=\wurzel[3]{2}.
[/mm]
Ich habe das zwar mittlerweile in Linearfaktoren zerlegt (in [mm] \IR[x] [/mm] und [mm] \IC[x]) [/mm] Aber es funktioniert nicht, einfach die eine Nullstelle 3mal (also als [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] einzusetzen. Logisch, denn [mm] (x-\wurzel[3]{2})(x-\wurzel[3]{2})(x-\wurzel[3]{2}) [/mm] ist nunmal nicht [mm] x^3-2 [/mm] sondern [mm] x^3-\wurzel[3]{2}* x^2+3(\wurzel[3]{2})^2*x-2 [/mm]
Diese Funktion hat (logisch, bei der Linearkombination) auch nur eine Nullstelle, aber hier funktioniert der Ansatz. Wenn ich mir den Grafen der Funktion anschaue: die Nullstelle liegt in einem Sattelpunkt (so hieß das doch? Kurvendiskussion ist schon ein wenig her...) Geht das deshalb? Hat die Funktion-mal blöd ausgedrückt- eigentlich doch 3 Nullstellen, die aber übereinander liegen? Und die andere Funktion hat eben wirklich nur eine Nullstelle?
(alles jeweils in [mm] \IR)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 16.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo nochmal,
jetzt kapier ich Dein Problem! Doch.
Auch [mm] p(x)=x^3-2
[/mm]
hat 3 (übrigens einfache) Nullstellen:
Sie liegen auf dem komplexen Kreis mit Radius [mm] \wurzel[3]{2}
[/mm]
auf den Winkeln 0 und [mm] 2\pi/3 [/mm] und [mm] 4\pi/3:
[/mm]
[mm] p(x)=x^3-2= (x-\wurzel[3]{2}) [/mm] * [mm] (x-\wurzel[3]{2}*[-\bruch{1}{2}+i*\bruch{\wurzel{3}}{2}]) [/mm] *
[mm] (x-\wurzel[3]{2}*[-\bruch{1}{2}-i*\bruch{\wurzel{3}}{2}])
[/mm]
Merke Dir beim Rechnen mit komplexen Zahlen folgende Regeln:
Seien [mm] a,b\in\IC [/mm] mit Winkelargumenten [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] und den
Beträgen |a| und |b|.
Dann hat
c := a*b
* das Winkelargument [mm] \gamma=\alpha+\beta [/mm] und
* den Betrag |c|=|a|*|b|
Damit kannst Du auch die Nullstellen von oben überprüfen!
Liebe Grüße
Markus-Hermann
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Ich soll mich aber erstmal auf [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] beschränken
(Und über den Zusammenhang von C und Winkelfunktionen weiß ich offiziell noch gar nichts)
Mein Problem ist also, dass es zwar eigentlich doch geht, aber eben nicht in [mm] \IR [/mm] ? (aber warum geht es da nicht? Und manchmal eben doch?)
(und warum eigentlich interessiert mich das an einem Samstag so, obwohl ich das zur Lösung meiner Aufgabe nicht brauche?....)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Sa 16.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn die fkt. nur eine - nicht doppelte - Nullstelle besitzt, wie etwa [mm] (x-1)(x^2+1) [/mm] ist doch wohl klar, dass ich [mm] x^2+1 [/mm] nicht durch [mm] (x-1)^2 [/mm] ersetzen kann! auch nicht, wenn ich es ausgeschrieben als [mm] x^3-x^2+x-1 [/mm] schreibe!
Wenn du eine Nullstelle hast, kannst du das Polynom dadurch teilen (d.h. durch x-x1, wenn das dann verbleibende Polynom keine reellen Nst. mehr hat, ists zu Ende, hat es noch eine (auch dieselbe) kann man nochmal dividieren! usw.
erst im komplexen kann man ein Polynom als Produkt aus allen x-xi schreiben.
Gruss leduart
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> Wenn du eine Nullstelle hast, kannst du das Polynom
> dadurch teilen (d.h. durch x-x1, wenn das dann verbleibende
> Polynom keine reellen Nst. mehr hat, ists zu Ende, hat es
> noch eine (auch dieselbe) kann man nochmal dividieren!
> usw.
Ja, das hatte ich bisher gemacht. Aber irgendwann wollte ich "mogeln" und dachte, ich könnte doch einfach die Nullstelle mehrfach einsetzen. Und wunderte mich dann, dass das nicht klappt
> erst im komplexen kann man ein Polynom als Produkt aus
> allen x-xi schreiben.
Genau das war der Teil, der mir gar nicht klar war. (Ich glaube, das hat man bei mir bei allem, wo das bisher vorkam "unterschlagen", indem man halt immer "passende" Funktionen nahm)
Danke schön (Nun kann ich auch schlafen heut nacht)
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