doppelte partielle Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:17 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Grendel |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{2}{(2x^2 + 3x)e^{-2x} dx}
[/mm]
Berechnen Sie das Integral mit doppelter partieller Integration und den Mittelwert. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Mein wackeliger Lösungsversuch:
[mm] \integral_{0}^{2}{(2x^2 + 3x)e^{-2x} dx} [/mm] =
[mm] [(\bruch{2}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}x^2)-\bruch{1}{2}e^{-2x}] [/mm] = 11,82
Das Ergebnis ist falsch. Es sollte - laut Taschenrechner - 1,06 rauskommen.
Ich weiss auch nicht, was mit partieller Integration und Mittelwert gemeint ist. Also steh ich hier gerade ziemlich auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 Sa 18.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
$ [mm] \integral_{0}^{2}{\underbrace{(2x²+3x)}_{u}\underbrace{e^{-2x}}_{v'} dx} [/mm] $
[mm] =\left[\underbrace{(2x²+3x)}_{u}\underbrace{\bruch{1}{2}e^{-2x}}_{v}\right]_{0}^{2}-\integral_{0}^{2}\underbrace{(4x+3)}_{u'}\underbrace{\bruch{1}{2}e^{-2x}}_{v}
[/mm]
Und das hintere Integral musst du jetzt nochmal per Partieller Integration lösen. Dann bekommst du wieder einen Teil ohne Integral und ein Integral, das du dann aber lösen kannst. (der Form: [mm] \integral{ae^{-2x}}dx), [/mm] hierbei kannst du die Konstante "herausziehen", und dann das Integral lösen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Grendel |
Vielen Dank erstmal für Deine Antwort. Jetzt befinde ich mich jedenfalls wieder auf dem richtigen Pfad. Leider bekomme ich immernoch nicht das richtige Ergebnis raus.
Mein Lösungsversuch:
[mm] \integral_{0}^{2}{(2x^2+3x)e^{-2x} dx} [/mm] =
[mm] \left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2}{(4x+3)(-\bruch{1}{2})e^{-2x} dx} [/mm] =
[mm] \left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] - [mm] \left[(4x+3)\bruch{1}{4}e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2}{4*\bruch{1}{4}e^{-2x} dx} [/mm] =
[mm] \left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] - [mm] \left[(4x+3)\bruch{1}{4}e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] - [mm] \left[-\bruch{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] =
[mm] \left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x} - (4x+3)\bruch{1}{4}e^{-2x} + \bruch{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{2} [/mm] =
[mm] (8+6)(-\bruch{1}{2})e^{-4} [/mm] - [mm] (8+3)\bruch{1}{4}e^{-4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}e^{-4} [/mm] - (0 - [mm] \bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] = 0,08
Wie gesagt, mein Taschenrechner spuckt mir immer 1,06 aus. Also muss das Ergebnis falsch sein. Habe ich vielleicht Vorzeichenfehler drin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 20.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
du hast in der Tat einen Vorzeichenfehler:
> [mm]\integral_{0}^{2}{(2x^2+3x)e^{-2x} dx} = [/mm]
> [mm]\left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} - \integral_{0}^{2}{(4x+3)(-\bruch{1}{2})e^{-2x} dx}[/mm] =
> [mm]\left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} - \red{\left(}\left[(4x+3)\bruch{1}{4}e^{-2x}\right]_{0}^{2} - \integral_{0}^{2}{4*\bruch{1}{4}e^{-2x} dx}\red{\right)}[/mm] =
> [mm]\left[(2x^2+3x)(-\bruch{1}{2})e^{-2x}\right]_{0}^{2} - \left[(4x+3)\bruch{1}{4}e^{-2x}\right]_{0}^{2} \red{+}
\left[-\bruch{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{2}[/mm]
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Grendel |
Peng! ... und das Ergebnis ist richtig. Vielen Dank!!
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