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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Do 02.06.2011 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | Es ist eine Basis B gegeben mit B={ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] } und die lineare Abbildung f: $ [mm] \IR [/mm] $³ [mm] \to $\IR [/mm] $³, die in der Basis B durch die Matrix [mm] M_B(f)= \begin{pmatrix}
6 & 7 & 8 \\
5 & 5 & 5 \\
4 & 3 & 2
\end{pmatrix} [/mm] gegeben ist.
Die Aufgabe ist jetzt die Matrix der dualen Abbildung
f*:$ [mm] \IR [/mm] $³* [mm] \to $\IR [/mm] $³* anzugeben, bezüglich der dualen Basis B*. |
Ich weiß wie man zu einer Basis eines Vektorraums eine duale Basis berechnet. Allerdings war bisher dabei nie eine Abbildungsmatrix gegeben, deshalb weiß ich nicht mal wie ich anfangen soll....
Für eure Hilfe bin ich sehr dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Do 02.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Es ist eine Basis B gegeben mit [mm]B=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}[/mm]
> und die lineare Abbildung [mm]f: \IR^3 \to\IR ^3[/mm], die in
> der Basis B durch die Matrix [mm]M_B(f)= \begin{pmatrix}
6 & 7 & 8 \\
5 & 5 & 5 \\
4 & 3 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
> gegeben ist.
> Die Aufgabe ist jetzt die Matrix der dualen Abbildung
> [mm]f^\ast: \IR^{3\ast} \to\IR^{3\ast}[/mm] anzugeben, bezüglich der dualen
> Basis B*.
>
>
> Ich weiß wie man zu einer Basis eines Vektorraums eine
> duale Basis berechnet. Allerdings war bisher dabei nie eine
> Abbildungsmatrix gegeben, deshalb weiß ich nicht mal wie
> ich anfangen soll....
Wende die Definition der dualen Abbildung [mm] $f^\ast$ [/mm] an: für [mm] $w^\ast \in \IR^{3\ast}$ [/mm] ist
[mm] f^\ast(w^\ast) = w^\ast \circ f [/mm] .
Nimm für [mm] $w^\ast$ [/mm] ein Element [mm] $b_i^\ast$ [/mm] der dualen Basis, wende das Ergebnis auf ein Element [mm] $b_j$ [/mm] von B an:
[mm] (f^\ast(b_i^\ast))(b_j) = (b_i^\ast\circ f)(b_j) = b_i^\ast(f(b_j)) [/mm]
und drücke [mm] $f(b_j)$ [/mm] durch die Abbildungsmatrix [mm] $M_B$ [/mm] aus: [mm] $f(b_j)=\summe_{k} (M_B(f))_{kj}b_k$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Do 02.06.2011 | | Autor: | saendra |
also ich war schon von dem ersten mal als der Dualraum angesprochen wurde mit ihm auf Kriegsfuß, aber erstmal vielen dank für deine Antwort =)
tut mir leid aber kannst du mir als Beispiel eins vormachen? gerne auch mit einem Vektor, der nicht aufgeführt ist, und dazu dazu schreiben warum du das machst? Weil hmm geht es nur mir so oder ist es unmöglich sich einen Dualraum vorzustellen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Fr 03.06.2011 | | Autor: | saendra |
also so hab ichs bisher gelernt:
[mm] v_1^\ast(b_1)=v_1^\ast\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=x_1+x_2=1
[/mm]
[mm] v_1^\ast(b_2)=v_1^\ast\vektor{0 \\ 1 \\ 1}=x_2+x_3=0
[/mm]
[mm] v_1^\ast(b_3)=v_1^\ast\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=x_1+x_3=0
[/mm]
als LGS: [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 }, [/mm] wobei die letzte Spalte die Lösungsspalte ist.
Also ist [mm] x_1=x_3=0,5 [/mm] und [mm] x_2=-0,5. [/mm] Analog wendet man dann noch die beiden anderen Linearformen an.... aber was mache ich jetzt mit der Abbildungsmatrix $ [mm] M_B(f)= \begin{pmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 5 & 5 & 5 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} [/mm] $?
kannst du mir noch mal weiter helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Fr 03.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also so hab ichs bisher gelernt:
>
> [mm]v_1^\ast(b_1)=v_1^\ast\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=x_1+x_2=1[/mm]
>
> [mm]v_1^\ast(b_2)=v_1^\ast\vektor{0 \\ 1 \\ 1}=x_2+x_3=0[/mm]
>
> [mm]v_1^\ast(b_3)=v_1^\ast\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=x_1+x_3=0[/mm]
>
> als LGS: [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 },[/mm]
> wobei die letzte Spalte die Lösungsspalte ist.
> Also ist [mm]x_1=x_3=0,5[/mm] und [mm]x_2=-0,5.[/mm] Analog wendet man dann
> noch die beiden anderen Linearformen an.... aber was mache
> ich jetzt mit der Abbildungsmatrix [mm]M_B(f)= \begin{pmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 5 & 5 & 5 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} [/mm]?
Ja, das kannst du so machen; dann musst du für jeden Basisvektor der dualen Basis wieder die Relation
[mm] f^\ast(v_i^\ast) (b_j) = v_i^\ast \circ f(b_j) [/mm]
einsetzen, die drei Vektoren [mm] $f(b_1)$, $f(b_2)$, $f(b_3)$ [/mm] mittels der Darstellungsmatrix als Linearkombinationen der [mm] $b_1,b_2,b_3$ [/mm] ausdrücken, und dann daraus die Darstellungmatrix von [mm] $f^\ast$ [/mm] ausrechnen. Das ist dasselbe wie meine allgemeine Rechnung, nur dass du von vorneherein die Zahlen einsetzt.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Fr 03.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also ich war schon von dem ersten mal als der Dualraum
> angesprochen wurde mit ihm auf Kriegsfuß, aber erstmal
> vielen dank für deine Antwort =)
>
> tut mir leid aber kannst du mir als Beispiel eins
> vormachen? gerne auch mit einem Vektor, der nicht
> aufgeführt ist, und dazu dazu schreiben warum du das
> machst? Weil hmm geht es nur mir so oder ist es unmöglich
> sich einen Dualraum vorzustellen?
Vorstellung ist immer so eine Sache; vieles davon ist einfach Gewohnheit. 
Im allgemeinen ist der Dualraum ein ziemlich abstrakte Sache, aber für endlichdimensionale Vektorräume und insbesondere den Vektorraum [mm] $\IR^n$ [/mm] gibt es recht einfache Betrachtungsweise:
Wenn du dir den Vektorraum [mm] $\IR^3$ [/mm] als Menge von Spaltenvektoren [mm] $\vektor{a\\b\\c}$ [/mm] vorstellst, dann kannst du dir seinen Dualraum [mm] $\IR^{3\ast}$ [/mm] als Menge von Zeilenvektoren $(u,v,w)$ vorstellen, die Anwendung eines Vektors aus [mm] $\IR^{3\ast}$ [/mm] auf einen Vektor aus [mm] $\IR^3$ [/mm] als Skalarprodukt zwischen Zeilen- und Spaltenvektor.
Zum Beispiel ist dann die zur Basis [mm] $\left( \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0} \right)$ [/mm] duale Basis gerade $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ .
In der Aufgabe hast du eine andere Bases, aber ansonsten kannst du die duale Basis analog hinschreiben.
Für die Aufgabe selber brauchst du allerdings die explizite Darstellung der Basen gar nicht. Die Matrixdarstellung von f ergibt sich doch daraus, dass du ausrechnest, wie f auf jedes einzelne Basiselement wirkt.
Nehmen wir an, es sei $w=f(v)$. In einer Basis [mm] $B=(b_1,b_2,b_3)$ [/mm] ist
[mm] v = v_1b_1+v_2b_2+v_3b_3 [/mm] und [mm] w= w_1b_1+w_2b_2+w_3b_3 [/mm] .
In der Matrixdarstellung ist
[mm] \vektor{w_1\\w_2\\w_3} = M_B(f) * \vektor{v_1\\v_2\\v_3} [/mm] .
Wenn du der Reihe nach [mm] $v=b_1,b_2,b_3$ [/mm] setzt, dann siehst du, dass die Spalten der Darstellungsmatrix gerade [mm] $f(b_1),f(b_2),f(b_3)$ [/mm] sind, jeweils ausgedrückt in der Basis B. Als Formel ist dies
[mm]f(b_j)=\summe_{k=1}^3 (M_B(f))_{kj}b_k [/mm] .
genauso gilt für die Darstellungsmatrix der dualen Abbildung
[mm]f^\ast(b_i^\ast)=\summe_{k=1}^3 (M_{B^\ast}(f^\ast))_{ki}b^\ast_k [/mm] .
Anwendung dieser dualen Abbildung auf einen Basisvektor [mm] $b_j$ [/mm] ergibt:
[mm] (f^\ast(b_i^\ast))(b_j)=\summe_{k=1}^3 (M_{B^\ast}(f^\ast))_{ki}b^\ast_k(b_j) ) = (M_{B^\ast}(f^\ast))_{ji} [/mm] ,
wobei ich im letzten Schritt benutzt habe, dass [mm] $b_i^\ast(b_k)=0$ [/mm] für [mm] $j\not=k$ [/mm] .
Jetzt nimmst du die Formel, die ich in meinem letzten Post abgeleitet habe:
[mm] (f^\ast(b_i^\ast))(b_j) = (b_i^\ast\circ f)(b_j) = b_i^\ast(f(b_j)) [/mm]
und setzt ein:
[mm] (f^\ast(b_i^\ast))(b_j) = b_i^\ast(f(b_j)) = b_i^\ast\left(\summe_{k=1}^3 (M_B(f))_{kj}b_k\right) = \summe_{k=1}^3 (M_B(f))_{kj}\, b_i^\ast(b_k) = (M_B(f))_{ij} [/mm] ,
wobei ich im letzten Schritt wieder benutzt habe, dass [mm] $b_i^\ast(b_k)=0$ [/mm] für [mm] $i\not=k$ [/mm] .
Beides muss gleich sein, was kommt heraus? (Und ganz ohne die Basis einzusetzen!)
Viele Grüße
Rainer
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