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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) Mathe Board
Hab leider noch ne Frage:
Gegeben seien die Basis B = {v1,v2,v3} von [mm] R^3=V [/mm] mit
V1=(1,-1,3)
V2=(0,1,-1)
V3=(0,3,-2).
Als Aufgabe ist jetzt gestellt, das wir die zu B duale Basis {f1,f2,f3} Teilmenge von V* mit fi,vj= δij bezüglich der kanonischen Basis von V* darstellen sollen.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 20:42 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Dualräume, hmm, das muss ich mir auch immer antun..
Und irgendwie mag es niemand ! *g*
Ich hab mal deine Aufgabe versucht zu lösen, aber alles mit Vorsicht zu genießen:
[mm] v_{1}=e_{1}-e_{2}+3e_{3}
[/mm]
[mm] v_{2}=e_{2}-e_{3}
[/mm]
[mm] v_{3}=3e_{2}-2e_{3}
[/mm]
=> [mm] e_{1}=v_{1}+e_{2}-3e_{3}
[/mm]
[mm] e_{2}=v_{2}+e_{3}
[/mm]
[mm] e_{3}=\bruch{1}{2}(v_{3}-3e_{2})
[/mm]
Jetzt muss man aber [mm] e_{1}, [/mm] ..., [mm] e_{3} [/mm] nur mit hilfe [mm] v_{1},...,v_{3} [/mm] ausdrücken (muss ja möglich sein, da [mm] v_{1},...,v_{3} [/mm] eine Basis ist).
Dann kommt man zu:
I) [mm] e_{1}=v_{1}+13v_{2}-4e_{3}
[/mm]
II) [mm] e_{2}=-5v_{2}+2e_{2}
[/mm]
III) [mm] e_{3}=-6v_{2}+3e_{3}
[/mm]
[mm]
[/mm]
Einsetzen von I)
[mm]
[/mm]
Add.Linearität im zweiten Argument ausnutzen
=
[mm] ++=1
[/mm]
[mm] =0
[/mm]
[mm] 0
[/mm]
[mm] =13
[/mm]
[mm] =-5 [/mm] (Komplex-Konjugierte einer reellen Zahl ist die Zahl selbst) (skalare Linearität auch im zweiten Argument)
[mm] =-6
[/mm]
[mm] =-4
[/mm]
[mm] =2
[/mm]
[mm] =2
[/mm]
[mm] f_{i} \in [/mm] V*, also darstellbar durch die Basen:
[mm] e^{*}_{1},e^{*}_{2},e^{*}_{3} [/mm] (kanonische Basen von V*)
[mm] f_{1}= \lambda_{1}e^{*}_{1}+ \lambda_{2}e^{*}_{2}+\lambda_{3}e^{*}_{3}
[/mm]
Es gilt aber [mm] \lambda_{1}=
[/mm]
Daher sind das die Koeffizienten, die wir gerade ausgerechnet haben !
[mm] f_{1}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] f_{2}= \vektor{13 \\ -5 \\ -6}
[/mm]
[mm] f_{3}= \vektor{-4 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
Das wäre die Darstellung zu der kanonische Basis von V*, meiner Meinung nach..
Hoffe, hab mich net verrechnet,....
Kannst du bitte ein Feeback geben, wie ihr das gelöst habt ?
Wäre daran interssiert.
Faenôl
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Hallo Faenol,
offensichtlich haben sich in Deiner Rechnung ein paar Fehler eingeschlichen.
Der erste ist schon bei der Darstellung der [mm]e_{i}[/mm] passiert.
Ich frage mich, wie Du zu der kanonischen Basis, eine duale Basis bestimmen willst.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Sa 22.01.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
die Bedingung für eine duale Basis kann etwas anders geschrieben:
[mm]\left( {B^{D} } \right)^{T} \;B\; = \;I[/mm], wobei [mm]\left( {B^{D} } \right)[/mm] die zu bestimmende duale Basis zu der gegebenen Basis B ist.
Daraus folgt dann, dass für [mm]\left( {B^{D} } \right)[/mm] gilt:
[mm]B^{D} \; = \;\left( {B^{ - 1} } \right)^{T}[/mm]
Hier ist
[mm]B\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 \\
{ - 1} & 1 & 3 \\
3 & { - 1} & { - 2} \\
\end{array} } \right)[/mm]
Daraus folgt:
[mm]B^{D} \; = \;\left( {B^{ - 1} } \right)^T \; = \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & 7 & { - 2} \\
0 & { - 2} & 1 \\
0 & { - 3} & 1 \\
\end{array} } \right)[/mm]
wobei die Spalten von [mm]B^{D}[/mm] als Vektoren zu interpretieren sind.
Gruß
MathePower
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Könnte vielleicht jemand die Aufgabe nochmal "richtig" vorrechnen, damit ich die Methode kenne?
Ich habe eine ähnliche Aufgabe und habe sie nach dem Schema von Faenol gerechnet. War fertig, nur schade, dass ich danach weitergelesen habe und die Rechnung falsch sein soll.
Wie kann man denn eine duale Basis darstellen?
Also ich habe folgende Aufgabe:
B = ((-1,2,1),(1,-1,-1),(0,-2,1)) Basis von [mm] \IR^3. [/mm] Zu bestimmen ist die duale Basis B*.
Da habe ich nach der "falschen" Methode" folgendes raus:
(1,-1,1), (-2,-3,-1), (3,2,2)
Bin für jede Hilfe echt dankbar!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Sa 13.01.2007 | | Autor: | der_emu |
Schau dir das mal, evtl. ist es hilfreich...
http://www.unet.univie.ac.at/~a0307893/Repetitorium/2007-01-11.pdf
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 So 14.01.2007 | | Autor: | Chichisama |
Vielen Dank! Das hilft mir tatsächlich!
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