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e-Folge: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Do 17.11.2011
Autor: saendra

Aufgabe
hänge schon seit stunden an folgender aufgabe.... ich soll das zeigen: [mm] (1+\bruch{r}{n})^n \le (1+\bruch{r}{n+1})^{n+1} [/mm]

mit r [mm] \in \IR [/mm] und |r|<n

weder direkter beweis noch vollständige induktion haben geklappt :(
hat mir jemand ein heißen tipp?

lg Sandra

        
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e-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:24 Do 17.11.2011
Autor: Fulla

Hallo Sandra,

versuch's doch mal mit dem Binomischen Lehrsatz:
[mm]\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\le \left(1+\frac{r}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow\ \sum_{k=0}^n {n\choose k} \left(\frac{r}{n}\right)^k\le \sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\left(\frac{r}{n+1}\right)^{k}[/mm]

Vielleicht schafftst du es ja, die rechte Seite auf die Form [mm]\sum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{r}{n}\right)^k +\ldots[/mm] zu bringen (oder zumindest geschickt abzuschätzen).


Lieben Gruß,
Fulla


EDIT: diverse Tippfehler ausgebessert

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e-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:33 Do 17.11.2011
Autor: saendra

danke für die rasche antwort :)

kurze fage dazu: kommt bei den 1. buch nicht von hier: [mm] \sum_{k=0}^n {n\choose k} \left(\frac{r}{k}\right)^k\le \sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\left(\frac{r}{n+1}\right)^{n+1} [/mm]
nicht das hin [mm] \left(\frac{r}{n}\right)^n? [/mm]

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e-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Do 17.11.2011
Autor: skoopa

Hey!

> danke für die rasche antwort :)
>  
> kurze fage dazu: kommt bei den 1. buch nicht von hier:
> [mm]\sum_{k=0}^n {n\choose k} \left(\frac{r}{k}\right)^k\le \sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\left(\frac{r}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]
>  
> nicht das hin [mm]\left(\frac{r}{n}\right)^n?[/mm]  

Du hast teilweise Recht. Da sind zwei kleine Vertipper drin. Und zwar auf beiden Seiten der Ungleichung. Es müsste korrekt heißen:
[mm]\sum_{k=0}^n {n\choose k} \left(\frac{r}{n}\right)^k\le \sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}\left(\frac{r}{n+1}\right)^{k}[/mm]

Denke damit müsstest du weiterkommen.
Beste Grüße!
skoopa

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e-Folge: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:47 Fr 18.11.2011
Autor: saendra

bin nur bedingt weiter gekommen :(
soweit bin ich nach stundenlangen rumrechnen:

[mm] \summe_{\Phi=2}^{n}\left(\bruch{x^\Phi(n-1)!}{\Phi!(n-\Phi)!}\right)\left(\bruch{1}{n^{\Phi-1}}-\bruch{n}{(n+1)^{\Phi-1}(n-1)}\right) \le \bruch{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} [/mm]


und jetzt bin ich total durcheinander :(

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e-Folge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Fr 18.11.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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e-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Fr 18.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo saendra,
> hänge schon seit stunden an folgender aufgabe.... ich soll
> das zeigen: [mm](1+\bruch{r}{n})^n \le (1+\bruch{r}{n+1})^{n+1}[/mm]
>  
> mit r [mm]\in \IR[/mm] und |r|<n

Wende die Bernoulliungleichung auf

    [mm] \left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n} [/mm]

an (wegen |r|<n folgt [mm] \left|\frac{r}{n+1}\right|<1). [/mm]

LG

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e-Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:17 Fr 18.11.2011
Autor: fred97


> Hallo saendra,
>  > hänge schon seit stunden an folgender aufgabe.... ich

> soll
> > das zeigen: [mm](1+\bruch{r}{n})^n \le (1+\bruch{r}{n+1})^{n+1}[/mm]
>  
> >  

> > mit r [mm]\in \IR[/mm] und |r|<n
>  
> Wende die Bernoulliungleichung auf
>  
> [mm]\left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}[/mm]

Hallo Kamaleonti,

vielleicht hab ich heute meinen Nicht- Durchblick-Tag, aber mit obigem Hinweis kann ich nichts anfangen.

Gruß FRED

>  
> an (wegen |r|<n folgt [mm]\left|\frac{r}{n+1}\right|<1).[/mm]
>  
> LG


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e-Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Fr 18.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo fred97,

> vielleicht hab ich heute meinen Nicht- Durchblick-Tag, aber
> mit obigem Hinweis kann ich nichts anfangen.

Für x>-1 und [mm] \blue{k}\geq1 [/mm] gilt [mm] (1+x)^\blue{k}\geq 1+\blue{k}x, [/mm] also hier

     [mm] \left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}\geq1+\frac{n+1}{n}\frac{r}{n+1}=1+\frac{r}{n}, [/mm]

denn aus [mm] \left|\bruch{r}{n+1}\right|<1 [/mm] folgt [mm] \frac{r}{n+1}>-1. [/mm]

Potenzieren mit n führt nun zur Behauptung.

LG

EDIT: BLAU (Doppelbezeichnung r entfernt).

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Bezug
e-Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:44 Fr 18.11.2011
Autor: fred97


> Hallo fred97,
>  
> > vielleicht hab ich heute meinen Nicht- Durchblick-Tag, aber
> > mit obigem Hinweis kann ich nichts anfangen.
>  
> Für x>-1 und [mm]r\geq1[/mm] gilt [mm](1+x)^r\geq[/mm] 1+rx, also hier
>  
> [mm]\left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}\geq1+\frac{n+1}{n}\frac{r}{n+1}=1+\frac{r}{n},[/mm]
>  
> denn aus [mm]\left|\bruch{r}{n+1}\right|<1[/mm] folgt
> [mm]\frac{r}{n+1}>-1.[/mm]
>  
> Potenzieren mit n führt nun zur Behauptung.
>  
> LG


Edit: Mist von mir entfernt.

Gruß FRED

Bezug
                                        
Bezug
e-Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:52 Fr 18.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo fred97,

> Dein Hinweis deckt also die Fälle 0 < r < 1 und  -n<r<0  nicht ab !

Die Bezeichnung in meiner vorigen Mitteilung waren schlecht gewählt. Ich hatte die Bernoulliungleichung nur für den Fall reeller Koeffizienten [mm] \geq1 [/mm] angegeben und dort r im Exponenten geschrieben. Dieses r ist natürlich von dem in der Aufgabenstellung verschieden.

Ich wende die Bernoulliungleichung auf [mm] \left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n} [/mm] an.
Dort ist der Exponent [mm] \frac{n+1}{n}\geq1. [/mm]

LG

Bezug
                                                
Bezug
e-Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:56 Fr 18.11.2011
Autor: fred97


> Hallo fred97,
>  
> > Dein Hinweis deckt also die Fälle 0 < r < 1 und  -n<r<0  
> nicht ab !
>  Die Bezeichnung in meiner vorigen Mitteilung waren
> schlecht gewählt. Ich hatte die Bernoulliungleichung nur
> für den Fall reeller Koeffizienten [mm]\geq1[/mm] angegeben und
> dort r im Exponenten geschrieben. Dieses r ist natürlich
> von dem in der Aufgabenstellung verschieden.
>  
> Ich wende die Bernoulliungleichung auf
> [mm]\left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}[/mm] an.
>  Dort ist der Exponent [mm]\frac{n+1}{n}\geq1.[/mm]

Meine Güte ! Ich hab heute wirklich einen meiner Nicht-Durchblick - Tage. Du hast natürlich völlig recht.

Gruß FRED

>  
> LG


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e-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Fr 18.11.2011
Autor: saendra

ihr habt mich jetzt aber auch verwirrt :-)
wo kann ich jetzt die bernouilli-ungleichung wie anwenden?

lg Sandra

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e-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Fr 18.11.2011
Autor: angela.h.b.


> ihr habt mich jetzt aber auch verwirrt :-)
>  wo kann ich jetzt die bernouilli-ungleichung wie
> anwenden?

Hallo,

mach doch mal das, was kamaleonti schrieb und wende die Bernoulli-Ungleichung auf [mm] (1+\bruch{r}{n+1})^{(n+1)/n} [/mm] an.

Was bekommst Du?

Gruß v. Angela



Bezug
                                                                        
Bezug
e-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Fr 18.11.2011
Autor: saendra

entweder ich überseh grad was oder ich steh auf dem schlauch. ich hab also die bernoulli-ungleichung [mm] 1+nx\le (1+x)^n [/mm] und [mm] (1+\bruch{r}{n})^n \le (1+\bruch{r}{n+1})^{n+1} [/mm] dann radiziert er mit n [mm] 1+\bruch{r}{n} \le (1+\bruch{r}{n+1})^{\bruch{n+1}{n}} [/mm] und hä ist versteh nicht was er gemacht hat...

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Bezug
e-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Fr 18.11.2011
Autor: kamaleonti

Hallo saendra,

> entweder ich überseh grad was oder ich steh auf dem
> schlauch. ich hab also die bernoulli-ungleichung [mm]1+nx\le (1+x)^n[/mm]
> und [mm](1+\bruch{r}{n})^n \le (1+\bruch{r}{n+1})^{n+1}[/mm] dann
> radiziert er mit n [mm]1+\bruch{r}{n} \le (1+\bruch{r}{n+1})^{\bruch{n+1}{n}}[/mm] und hä ist versteh nicht was er gemacht hat...

Dieser Artikel beinhaltet schon fast die vollständige Lösung.

Dort habe ich

     [mm] \left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{(n+1)/n}\geq1+\frac{r}{n} [/mm]

aus der Bernoulliungleichung gefolgert. Potenziert man diese Ungleichung  (bei der beide Seiten positiv sind) mit n, so erhält man die Behauptung

     [mm] \left(1+\bruch{r}{n+1}\right)^{n+1}\geq\left(1+\frac{r}{n}\right)^n. [/mm]

LG

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