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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f durch
[mm]y = f(x) = 4 * e^{-0,5x} , x\in\IR[/mm]
a) Weisen Sie nach, daß der Graph der Funktion f genau einen Schnittpunkt mir nur einer der beiden Koordinatenachsen hat.
Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie.
Vervollständigen Sie die Wertetabelle:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall [mm]-1\le x\le 6 [/mm].
b) Der Graph der Funktion f, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung [mm]x = 2 [/mm] begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.
c) Im Punkt [mm]P(2|f(2))[/mm] wird an den Graphen der Funktion f eine Tangente t gelegt. Zeigen Sie, dass diese Tangente t die Gleichung [mm]y = -2e^{-1} x + 8e^{-1}[/mm] besitzt.
Die Tangente t zerlegt die Fläche aus Aufgabe b in zwei Teilflächen. Berechnen Sie die Maßzahlen der Inhalte dieser Teilflächen.
Die Tangente t und die Koordinatenachsen begrenzen eine Dreiecksfläche. Bei Rotation dieser Fläche um die y-Achse entsteht ein Kreiskegel. Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens dieses Kegels. |
Hallo,
mal wieder eine Exponentialfunktion. Bräuchte ein paar Tipps und mal wieder Kontrolle (mangelndes Selbstvertrauen in mathematische Fähigkeiten ;) )
a)Bei der Schnittpunktaufgabe habe ich einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei [mm]S_y (0;4) [/mm]. Doch wie weise ich nach, dass es keinen mit der X-Achse gibt?
Die Funktion ist ja streng monoton fallend, aber wie schreibt man das mathematisch korrekt auf?
Meine Werte für
[mm]x = -1[/mm] [mm]f(x) = 6,59[/mm]
[mm]f(x) = 6[/mm] [mm] x = -0,81[/mm]
[mm]f(x) = 3[/mm] [mm]x = 0,56[/mm]
[mm]x = 6[/mm] [mm]f(x) = 0,2[/mm]
Meine Graph:
[Dateianhang nicht öffentlich]
b) [mm]A = \integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
[mm]A = \integral_{0}^{2}{4*e^{-\bruch{1}{2}x} dx}[/mm]
Doch wie lautet die Stammfunktion?
[mm]A = [4x * e^{-0,5x}][/mm]
Dankeschön erstmal für die gestrige Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo danse-macabre!
> a) Bei der Schnittpunktaufgabe habe ich einen Schnittpunkt
> mit der y-Achse bei [mm]S_y (0;4) [/mm].
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!
> Doch wie weise ich nach, dass es keinen mit der X-Achse gibt?
Die e-Funktion ist für beliebige (reelle) Werte immer positiv:
[mm] $e^x [/mm] \ > \ 0 \ \ \ [mm] \forall [/mm] \ x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$
[/mm]
> Die Funktion ist ja streng monoton fallend, aber wie
> schreibt man das mathematisch korrekt auf?
Wenn die Steigung negativ ist, ist die Funktion auch monoton fallen.
Du musst also zeigen, dass gilt: $f'(x) \ < \ 0$
> Meine Werte für
>
> [mm]x = -1[/mm] [mm]f(x) = 6,59[/mm]
> [mm]f(x) = 6[/mm] [mm]x = -0,81[/mm]
> [mm]f(x) = 3[/mm] [mm]x = 0,56[/mm]
>
> [mm]x = 6[/mm] [mm]f(x) = 0,2[/mm]
Allerdings habe ich einen etwas anderen Wert bei $f(x) \ = \ 3$ .
Hier habe ich: $x \ = \ [mm] 0.5\red{8}$
[/mm]
> b) [mm]A = \integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> [mm]A = \integral_{0}^{2}{4*e^{-\bruch{1}{2}x} dx}[/mm]
>
> Doch wie lautet die Stammfunktion?
> [mm]A = [4x * e^{-0,5x}][/mm]
Diese Stammfunktion ist falsch! Aber das kannst du auch schnell selber überprüfen, indem Du hier mal die Ableitung bildest. Da sollte dann die Ausgangsfunktion herauskommen.
Bei linear verketteten Funktionen wie z.B. $f(x) \ = \ [mm] e^{a*x}$ [/mm] gilt:
[mm] $\integral{e^{a*x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*e^{a*x} [/mm] \ + \ C$
Gruß
Loddar
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