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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f mit $ [mm] f(x)=e^{x+1} [/mm] $
Welcher Punkt des Graphen von f hat vom Ursprung den kleinsten Abstand? |
f(x)=e^(x+1)
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe: Ich frage mich, wie ich das rechnerisch bestimmen kann. Mit einem online graphic calculator mit schon einmal den Graphen angeschaut und auch gesehen, dass dieser gesuchter Punkt zwichen -0,5 und -0,75 liegt.
Aber wie kann ich das denn eben bestimmen? Muss ich ein Sekante zwischen dem Punkt (0|0) und welchem Punkt der Funktion bestimmen?
Mir fällt echt nichts ein.
Vielen Dank schon jetzt für eure Tipps oder Hilfestellungen.
LG TryingHard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Mi 08.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo TryingHard,
es gibt zwei Wege:
- Berechne für jeden Punkt den Abstand $d = [mm] \wurzel{x^2 + f^2(x)}$ [/mm] Das ist eine Funktion die Du minimieren kannst. Netter geht es, wenn man [mm] d^2 [/mm] minimiert. Das führt zu dem gleichen Ergebnis.
- Berechne die Normalen zu der Kurve. Das sind die Senkrechten auf den Tangenten. Suche die davon heraus, die durch den Ursprung geht. Das Argument dazu: Wenn die Verbindungsstrecke zwischen Ursprung und Graf nicht senkrecht auf dem Grafen steht, dann kann man einen Punkt auf dem Grafen finden, zu dem noch eine kürzere Strecke gehört. Das ist erst an der Auftreffstelle der Senkrechten nicht mehr der Fall. Beachte, dass es aber auch ein maximaler Abstand sein kann, oder eine Entsprechung für einen Sattelpunkt. Ein bisschen Argumentieren löst das Problem.
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Hallo,
danke für die Antwort.
Wenn ich das recht verstehe ist die einzig sinnvoll und schnelle Variante, Variante 2
> - Berechne die Normalen zu der Kurve. Das sind die
> Senkrechten auf den Tangenten. Suche die davon heraus, die
> durch den Ursprung geht. Das Argument dazu: Wenn die
> Verbindungsstrecke zwischen Ursprung und Graf nicht
> senkrecht auf dem Grafen steht, dann kann man einen Punkt
> auf dem Grafen finden, zu dem noch eine kürzere Strecke
> gehört. Das ist erst an der Auftreffstelle der Senkrechten
> nicht mehr der Fall. Beachte, dass es aber auch ein
> maximaler Abstand sein kann, oder eine Entsprechung für
> einen Sattelpunkt. Ein bisschen Argumentieren löst das
> Problem.
Nur verstehe ich nicht ganz wie ich vorgehen soll. Die Senkrechten der Tangente. Leider fällt mir nicht mehr ein, wie man die Tangente hier bestimmt. Wobei die erste Ableitung ja gleich der Steigung im Punkt ist. Aber die Ableitungen sind ja alle gleich der Ausgangsfunktion.
Bitte schreibe mir noochmal kurz, wie ich die Tangente bestimme und zweitens wie ich dann weiter vorgehen muss. Vielleicht könntest du sogar anfangen zu rechnen, damit ich sehe wie es funktioniert und wie ich weitermachen muss. Das muss aber nicht sein. Ich will das auch nicht abschreiben, sondern ja verstehen.
Bielen Dank schon jetzt und LG TryingHard
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Hallo TryingHard,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
> Wenn ich das recht verstehe ist die einzig sinnvoll und
> schnelle Variante, Variante 2
Das glaube ich nicht. Nimm lieber diese Formel bzw. ihr Quadrat:
$ d = [mm] \wurzel{x^2 + f^2(x)} [/mm] $ mit $ [mm] f(x)=e^{x+1} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow D(x)=d(x)^2=x^2+f^2(x)$
[/mm]
[mm] $D(x)=x^2+(e^{x+1})^2$
[/mm]
denke daran, dass [mm] (a^r)^2=a^{2r} [/mm] gilt! [mm] \rightarrow [/mm]  Potenzgesetze
von dieser Funktion suchst du das Minimum und prüfst, ob die zugehörige Minimalstelle auch für die Funktion d(x) das Minimum ergibt, - und bist fertig.
Gruß informix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Do 09.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Nur der Vollständigkeit halber:
> Nur verstehe ich nicht ganz wie ich vorgehen soll. Die
> Senkrechten der Tangente. Leider fällt mir nicht mehr ein,
> wie man die Tangente hier bestimmt. Wobei die erste
> Ableitung ja gleich der Steigung im Punkt ist. Aber die
> Ableitungen sind ja alle gleich der Ausgangsfunktion.
Na und?
Die Tangente ist eine Gerade. Deren Steigung ist gerade die Ableitung der Funktion an der Berührstelle. Dann ist noch ein Punkt, nämlich der Berührpunkt gegeben. Damit läßt sich die Geradengleichung bestimmen.
Für die Normale geht es analog, nur das für die Steigung nun $m(x) = [mm] -\bruch{1}{f'(x)}$ [/mm] gilt. Die Normale an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] hat also die Steigung $m = [mm] -\bruch{1}{e^{x_0+1}}$ [/mm] und weiterhin den Punkt [mm] $(x_0;e^{x_0+1})$.
[/mm]
Die Geradengleichung lautet: $g(x) = [mm] -\bruch{1}{e^{x_0+1}}*x [/mm] + c$. Einsetzen des Punktes ergibt: [mm] $e^{x_0+1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{e^{x_0+1}}*x_0 [/mm] + c$.
Da die Normale durch den Ursprung gehen soll muss $c=0$ gelten. Also bleit zur Bestimmung von [mm] x_0: $e^{x_0+1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{e^{x_0+1}}*x_0$. [/mm]
Wie es dann weitergeht, sehe ich nicht so schnell.
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