e-Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 01.08.2009 | | Autor: | shapppi |
Ich komme in 6 Wochen in die 12. Klasse und wollte mich jetzt schon ein wenig mit dem Stoff des Mathematik-Leistungskurses befassen.
Hab zwar gerade erste angefangen, aber schon hänge ich bei der e-Funktion.
Wieso ist die Ableitung von [mm] e^{x} [/mm] = [mm] e^{x}?
[/mm]
Die Kurve von [mm] e^{x} [/mm] kenn ich bereits, aber sieht dann die Ableitung genau so aus? Hat [mm] e^{x} [/mm] die gleiche Steigung wie y-Werte für x?
Also wenn [mm] e^{1} [/mm] = 2.718 ist, ist dann gleichzeitig die Steigung 2.718?
Hätte da jemand einen Beweis dafür parat, denn ich kann mir das nicht logisch erdenken, wieso die Ableitungsfunktion genauso aussieht wie die Stammfunktion.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Andreas,
> Ich komme in 6 Wochen in die 12. Klasse und wollte mich
> jetzt schon ein wenig mit dem Stoff des
> Mathematik-Leistungskurses befassen.
>
> Hab zwar gerade erste angefangen, aber schon hänge ich bei
> der e-Funktion.
>
>
> Wieso ist die Ableitung von [mm]e^{x}[/mm] = [mm]e^{x}?[/mm]
> Die Kurve von [mm]e^{x}[/mm] kenn ich bereits, aber sieht dann die
> Ableitung genau so aus? Hat [mm]e^{x}[/mm] die gleiche Steigung wie
> y-Werte für x?
> Also wenn [mm]e^{1}[/mm] = 2.718 ist, ist dann gleichzeitig die
> Steigung 2.718?
> Hätte da jemand einen Beweis dafür parat, denn ich kann
> mir das nicht logisch erdenken, wieso die
> Ableitungsfunktion genauso aussieht wie die Stammfunktion.
Nun, wie berechnet man die Ableitung üblicherweise? Über den Differenzenquotienten.
Gib dir also ein beliebiges [mm] $x\in\IR$ [/mm] vor und betrachte
[mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^x\cdot{}e^h-e^x}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^x\cdot{}\left(e^h-1\right)}{h}=e^x\cdot{}\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}$ [/mm]
durch einfache Anwendung der Potenzgesetze
Nun schreibe den letzten Teil ein wenig geschickt um, und zwar so:
[mm] $...=e^x\cdot{}\underbrace{\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{\red{0}+h}-\red{e^0}}{h}}_{\text{Ableitung von} \ e^x \ \text{an der Stelle 0}}$
[/mm]
Nun kann man sich davon überzeugen, dass die e-Funktion in [mm] $x_0=0$ [/mm] die Steigung 1 hat, siehe für einen Beweis mit einer Abschätzung etwa ![[]](/images/popup.gif) hier
Dort findest du im unteren Drittel der Seite unter "Abschätzung nach oben" und "Ableitung der Exponentialfunktion" genauere Details, etwa eine hilfreiche Abschätzung, die hilft, einzusehen, dass [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=1$ [/mm] ist ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Sa 01.08.2009 | | Autor: | shapppi |
Okay, erst einmal vielen Danke für die Erklärung, doch habe ich 2 Stellen noch nicht so ganz verstanden.
Ich war es schon so gewohnt mit der normalen Ableitung zu rechnen, so habe ich ganz vergessen, dass ich dies auch mit der Differenzialrechnung machen kann. Die Differenzialrechnung selber hab ich noch einmal nachgerechnet, kann ich auch nachvollziehen, bis auf einen Punkt:
Wieso kann man das [mm] e^{x} [/mm] einfach so vor den Limes schreiben? Hätte ich es aus eigener Überlegung von dort herausgenommen hätte ich [mm] \infty [/mm] oder 0 dafür hingeschrieben, denn das sind ja die Grenzwerte für die e-Funktion. Und außerdem wissen wir ja an diesem Punkt noch nicht, dass die Ableitung von [mm] e^{x} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] ist.
Aber nehmen wir einmal an, ich weiß wieso [mm] e^{x} [/mm] herausgenommen wird und rechnen weiter: Wir können ja bei [mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{e^{h} - 1}{h} [/mm] für h die 0 nicht einsetzen, das will man ja normalerweise vermeiden, auch bei Limes, weil da würde dann unendlich rauskommen. Also habe ich mich dort angenähert. Hab mit h=1 begonnen, dann h=0.1 und dann hab ich gesehen, dass es sich immer weiter der 1 nähert, weshald es dann eigentlich eindeutig ist, dass [mm] e^{x} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] ist, weil [mm] e^{x} [/mm] * 1 = [mm] e^{x} [/mm] ergibt.
Doch auch hier gibt es noch ein Problem, nämlich eben wegen dem h im Nenner, den ich eigentlich vermeiden wollte. Ich habe auf der Wikipedia-Seite, auf die ich hingewiesen wurde gesehen, dass das [mm] e^{h} [/mm] durch [mm] \bruch{1}{1-h} [/mm] ersetzt wird, wodurch der Grenzwert sehr leicht ausfindig gemacht werden kann. Doch wie funktioniert das? (Hängt das mit der Abschätzung nach oben (von dem Wikipedia-Artikel) zusammen? Denn das verstehe ich nicht. Nach oben geht es Richtung unendlich und nach unten gegen 0, was man ja am Graphen schon sehen kann.)
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Hiho,
> Wieso kann man das [mm]e^{x}[/mm] einfach so vor den Limes
> schreiben? Hätte ich es aus eigener Überlegung von dort
> herausgenommen hätte ich [mm]\infty[/mm] oder 0 dafür
> hingeschrieben, denn das sind ja die Grenzwerte für die
> e-Funktion.
Ja, aber wenn du genau hinschaust, wirst du feststellen, dass das [mm] e^x [/mm] mit dem Grenzwert nichts mehr zu tun hat, also unabhängig davon und damit "konstant" ist, und damit auch rausgezogen werden kann.
Denn du betrachtest den Grenzwert von h [mm] \to [/mm] 0 und e^x ist davon nunmal unabhängig.
Soweit klar?
> Aber nehmen wir einmal an, ich weiß wieso [mm]e^{x}[/mm]
> herausgenommen wird und rechnen weiter: Wir können ja bei
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{e^{h} - 1}{h}[/mm] für h die
> 0 nicht einsetzen, das will man ja normalerweise vermeiden,
> auch bei Limes, weil da würde dann unendlich rauskommen.
Nein, würde es nicht, weil oben eben auch 0 herauskommen würde.
Du hättest also einen Ausdruck der Form [mm] \bruch{0}{0}.
[/mm]
Von diesem kann man erstmal nicht sofort feststellen, wogegen er konvergiert bzw. ob er überhaupt konvergiert. Das hängt davon ab, was schneller gegen 0 geht.
Das erkennt man leicht an den Beispielen:
[mm] \bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}, \bruch{\bruch{1}{n^2}}{\bruch{1}{n}}, \bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n^2}}
[/mm]
Überall hast du die Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
Durch kürzen erkennt man aber recht schnell die richtigen Grenzwerte.
> Doch auch hier gibt es noch ein Problem, nämlich eben
> wegen dem h im Nenner, den ich eigentlich vermeiden wollte.
> Ich habe auf der Wikipedia-Seite, auf die ich hingewiesen
> wurde gesehen, dass das [mm]e^{h}[/mm] durch [mm]\bruch{1}{1-h}[/mm] ersetzt
> wird, wodurch der Grenzwert sehr leicht ausfindig gemacht
> werden kann. Doch wie funktioniert das?
Das exp(h) wird nicht "ersetzt", sondern nach oben durch [mm] \bruch{1}{1-h} [/mm] abgeschätzt. Wieso das richtig ist, wird ja durch die Abschätzung dadrüber bewiesen.
Wenn du den Beweis dazu nicht verstehst, einfach nochmal nachfragen 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 So 02.08.2009 | | Autor: | shapppi |
Ah vielen danke, jetzt wird fast alles klar :)
> Ja, aber wenn du genau hinschaust, wirst du feststellen,
> dass das [mm]e^x[/mm] mit dem Grenzwert nichts mehr zu tun hat, also
> unabhängig davon und damit "konstant" ist, und damit auch
> rausgezogen werden kann.
> Denn du betrachtest den Grenzwert von h [mm]\to[/mm] 0 und e^x ist
> davon nunmal unabhängig.
> Soweit klar?
Versteh ich jetzt.
> Nein, würde es nicht, weil oben eben auch 0 herauskommen
> würde.
> Du hättest also einen Ausdruck der Form [mm]\bruch{0}{0}.[/mm]
> Von diesem kann man erstmal nicht sofort feststellen,
> wogegen er konvergiert bzw. ob er überhaupt konvergiert.
> Das hängt davon ab, was schneller gegen 0 geht.
Das habe ich ganz vergessen, dass es noch soetwas wie die hebbaren Lücken gibt, ist jetzt aber ebenfalls klar
> Das exp(h) wird nicht "ersetzt", sondern nach oben durch
> [mm]\bruch{1}{1-h}[/mm] abgeschätzt. Wieso das richtig ist, wird ja
> durch die Abschätzung dadrüber bewiesen.
> Wenn du den Beweis dazu nicht verstehst, einfach nochmal
> nachfragen
Der Beweis ist so eine Sache, ich denke um die Abschätzung nach oben zu verstehen muss ich die Abschätzung nach unten auch verstehen.
Die Formel [mm]\bruch{1}{1-h}[/mm] gibt für mich irgendwie noch keinen Sinn. Setzt man hier nämlich für das h beispielshalber 2 ein, so erhalten wir eine negative Zahl und da der y-Wert von [mm] e^{h} [/mm] noch weiter drunter liegen soll, geht das ganze nicht, weil ja der Graph von [mm] e^{x} [/mm] immer eine Wertemenge von [mm] \IR [/mm] ^{+} hat.
Schreibt man für den Exponenten von e auch noch 2 wäre das Ergebnis noch schlimmer.
Zusammengefasst: Ich verstehe den Beweis nicht :)
MfG Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 So 02.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast in dem zitierten Beweis uebersehen, dass die Ungleichung
[mm] e^x\le \bruch{1}{1-x}
[/mm]
nur fuer x<1 gilt, ist eigentlich klar, da [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] ja fuer x>1 negativ wird.
Du interessierst dich ja aber fuer [mm] e^h [/mm] mit h gegen 0, so dass du nur in der Umgebung von 0 die Ungleichung brauchst.
Die benutzte "Bernoulli Ungleichung gilt auch nur fuer |x|<1
sie sagt dass fuer a<1 gilt [mm] (1+a)^n [/mm] >1+n*a
die hattet ihr auf der Schule wahrscheinlich auch nicht.
kapierst du den Rest des Beweises? er benutzt , dass wenn ein Grenzwert sowohl groesser gleich 1 als auch kleiner gleich 1 ist dann muss er selbst 1 sein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 So 02.08.2009 | | Autor: | shapppi |
Guten Morgen
> Du hast in dem zitierten Beweis uebersehen, dass die
> Ungleichung
> [mm]e^x\le \bruch{1}{1-x}[/mm]
> nur fuer x<1 gilt, ist eigentlich
> klar, da [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] ja fuer x>1 negativ wird.
> Du interessierst dich ja aber fuer [mm]e^h[/mm] mit h gegen 0, so
> dass du nur in der Umgebung von 0 die Ungleichung
> brauchst.
Also dass die Formel stimmt ist mir jetzt klar, für welchen Zweck, bzw wie man dadurch den Graph nach oben abschätzen will ist mir immer noch unschlüssig.
Dass [mm]e^x\le \bruch{1}{1-x}[/mm] gilt ist logisch, aber was bringt mir das? Ich sehe dass ich mich für die Annäherung von x auf 0 immer mehr der 1 nähere und richtung eins immer mehr nach unendlich und das das dann [mm] \ge e^{x} [/mm] ist, ist schon klar.
Ich hab das Gefühl ich verstehe das Grundprinzip der "Abschätzung nach oben" nicht.
> Die benutzte "Bernoulli Ungleichung gilt auch nur fuer
> |x|<1
> sie sagt dass fuer a<1 gilt [mm](1+a)^n[/mm] >1+n*a
> die hattet ihr auf der Schule wahrscheinlich auch nicht.
Wir hatten das Thema noch nicht in der Schule, ich versuch das zu verstehen, bevor wir es in der Schule lernen -> siehe Anfangsfrage
Und diese Gleichung check ich noch weniger, weil wieso kommt da a und n vor? was ist da was?
> kapierst du den Rest des Beweises? er benutzt , dass wenn
> ein Grenzwert sowohl groesser gleich 1 als auch kleiner
> gleich 1 ist dann muss er selbst 1 sein.
Sry aber da kann ich dir jetzt nicht folgen =/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 So 02.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Guten Morgen
>
>
> > Du hast in dem zitierten Beweis uebersehen, dass die
> > Ungleichung
> > [mm]e^x\le \bruch{1}{1-x}[/mm]
> > nur fuer x<1 gilt, ist
> eigentlich
> > klar, da [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] ja fuer x>1 negativ wird.
> > Du interessierst dich ja aber fuer [mm]e^h[/mm] mit h gegen 0,
> so
> > dass du nur in der Umgebung von 0 die Ungleichung
> > brauchst.
>
> Also dass die Formel stimmt ist mir jetzt klar, für
> welchen Zweck, bzw wie man dadurch den Graph nach oben
> abschätzen will ist mir immer noch unschlüssig.
> Dass [mm]e^x\le \bruch{1}{1-x}[/mm] gilt ist logisch, aber was
> bringt mir das? Ich sehe dass ich mich für die Annäherung
> von x auf 0 immer mehr der 1 nähere und richtung eins
> immer mehr nach unendlich und das das dann [mm]\ge e^{x}[/mm] ist,
> ist schon klar.
> Ich hab das Gefühl ich verstehe das Grundprinzip der
> "Abschätzung nach oben" nicht.
>
> > Die benutzte "Bernoulli Ungleichung gilt auch nur fuer
> > |x|<1
> > sie sagt dass fuer a<1 gilt [mm](1+a)^n[/mm] >1+n*a
> > die hattet ihr auf der Schule wahrscheinlich auch
> nicht.
>
> Wir hatten das Thema noch nicht in der Schule, ich versuch
> das zu verstehen, bevor wir es in der Schule lernen ->
> siehe Anfangsfrage
> Und diese Gleichung check ich noch weniger, weil wieso
> kommt da a und n vor? was ist da was?
>
> > kapierst du den Rest des Beweises? er benutzt , dass wenn
> > ein Grenzwert sowohl groesser gleich 1 als auch kleiner
> > gleich 1 ist dann muss er selbst 1 sein.
>
> Sry aber da kann ich dir jetzt nicht folgen =/
>
>
Hallo,
vielleicht wird eine ganz andere Herangehensweise für dich verständlicher.
Wie habt ihr die Zahl e kennen gelernt? Ich vermute mal, über
[mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n.
[/mm]
Setzt man 1/n=h, wird daraus
[mm] e=\limes_{h\rightarrow 0}(1+h)^{1/h}.
[/mm]
Wenn du das ganze hoch h nimmst, wird daraus (unter stillschweigender Verwendung, dass man hier [mm] (\limes_{h\rightarrow 0}(1+h)^{1/h})^h=\limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^{1/h})^h [/mm] setzten darf)
[mm] e^h=\limes_{h\rightarrow 0}(1+h) [/mm] .
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 So 02.08.2009 | | Autor: | shapppi |
> Wie habt ihr die Zahl e kennen gelernt? Ich vermute mal,
> über
> [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n.[/mm]
> Setzt man 1/n=h, wird daraus
> [mm]e=\limes_{h\rightarrow 0}(1+h)^{1/h}.[/mm]
> Wenn du das ganze
> hoch h nimmst, wird daraus (unter stillschweigender
> Verwendung, dass man hier [mm](\limes_{h\rightarrow 0}(1+h)^{1/h})^h=\limes_{h\rightarrow 0}((1+h)^{1/h})^h[/mm]
> setzten darf)
> [mm]e^h=\limes_{h\rightarrow 0}(1+h)[/mm] .
> Gruß Abakus
Hier habe ich es kennengelernt
http://www.strobl-f.de/m12.html
bzw hier:
http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/leistungskurs/mathematik/integral/index.htm
Ich komm erst in 6 Wochen in die Kollegestufe.
Mit der Abschätzung kann man ja eigentlich nur beweisen, dass der Grenzwert bei 0 auf 1 hinausläuft, bzw dass er die y-Achse bei 1 schneidet. Aber nützen mir diese Beweise sonst irgendwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 So 02.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
geh ein paar posts zurueck. da ging es noch um die Ableitung an irgendeiner Stelle x.
Man hat [mm] e^x [/mm] ausgeklammert, und gezeigt, dass die Ableitung an der Stelle x [mm] =e^x* [/mm] Ableitung an der Stelle 0 ist.
Das ist dir sicher inzwischen mit all den fuer dich neuen Beweisen entgangen.
Wenn du das also an der stelle 0 kapiert hast, hast du es gleich fuer alle x bewiesen : [mm] (e^x)'=e^x
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 So 02.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo shappi,
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> Wieso ist die Ableitung von [mm]e^{x}[/mm] = [mm]e^{x}?[/mm]
Schön, dass du Interesse an mathematischen Fragen hast! Ich biete dir zu deiner Frage einen etwas anderen Weg an, der aber einige der in der Diskussion genannten Methoden enthält. Alle mathematischen Feinheiten lasse ich weg.
Ich gehe aus von den Funktionen [mm] \bold{f(x)=2^x} [/mm] und [mm] \bold{g(x)=3^x}. [/mm] Wenn man die Steigung bestimmen möchte, setzt man den Differenzenquotient an:
[mm] \frac{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \frac {2^{x+h}-2^x}{h} [/mm] = [mm] \frac {2^x *2^h -2^x}{h} [/mm] = [mm] 2^x*\frac {2^h -1}{h}
[/mm]
Wenn man jetzt per TR h-> 0 gehen läßt, z.B. h=0,1 0,01 0,001 ..., sieht man, dass [mm] \frac {2^h -1}{h} [/mm] vermutlich [mm] \approx [/mm] 0,69. Die Ableitungsfunktion von f(x)= [mm] 2^x [/mm] ist also offenbar [mm] \bold{f'(x) \approx 0,69*2^x}.
[/mm]
Das gleiche für [mm] g(x)=3^x [/mm] ergibt den Term [mm] 3^x*\frac {3^h -1}{h} [/mm] und wieder per TR-Probieren erhält man [mm] \approx 1,1*3^x, [/mm] also gilt offenbar [mm] \bold{g'(x) \approx 1,1*3^x}
[/mm]
[mm] D.h.:2^x [/mm] und [mm] 3^x [/mm] "reproduzieren" sich beim Ableiten bis auf einen konstanten Faktor! Optimistisch verallgemeinert man: [mm] \bold{(a^x)' = c*a^x}, [/mm] wobei [mm] \bold{c\approx \frac {a^h -1}{h}} [/mm] , wenn h klein genug ist.
Spannende Überlegung jetzt: Es müsste eine Basis a mit 2<a<3 geben, so dass c=1! Für diese müßte dann gelten: [mm] \frac {a^h -1}{h}\approx [/mm] 1, wenn man h klein genug an Null wählt!
Aus [mm] \frac {a^h -1}{h} \approx [/mm] 1 ergibt sich [mm] a^h\approx [/mm] 1+h.
Wenn man jetzt [mm] h=\frac{1}{n} [/mm] setzt, geht h gegen Null, wenn n groß genug wird! Setzt man das oben ein, ergibt sich
[mm] a^{\frac{1}{n}}\approx 1+\frac{1}{n} [/mm] und jetzt das ganze hoch n: [mm] a\approx (1+\frac{1}{n})^n
[/mm]
Der Grenzwert dieses Ausdrucks für [mm] n->\infty [/mm] wird e genannt, also ist [mm] \bold{(e^x)'=e^x}
[/mm]
Es ist klar, dass eine mathematische Herleitung sich nicht mit Probieren zufrieden geben kann, daher muss man durch Grenzwertbetrachtungen, Abschätzungen usw. die erforderliche logische Feinarbeit erledigen! Das kannst du in einigen Beiträgen hier und Buch- oder Internetquellen entnehmen.
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 So 02.08.2009 | | Autor: | shapppi |
Wow, vielen Dank, jetzt kappier ich das schon mal, wie die Ableitung zustande kommt, dass [mm] (e^{x})'= e^{x} [/mm] :)
Jetzt kann ich auch solche Funktionen wie [mm] n^{x} [/mm] ableiten, hab mich schon immer gefragt, wie das gehen soll.
Jetzt versteh ich auch, für was diese Formel nützlich ist [mm] [a\approx (1+\bruch{1}{n})^{n}], [/mm] die beweist doch dann einfach, dass der Faktor c bei der Ableitung von [mm] a^{x} [/mm] 1 ist, sodass dann e als die Zahl angesehen werden kann, die sich dann als Exponentialfunktion abgeleitet, wie so schön gesagt wurde wieder "reproduziert", weil sich bei der Multiplikation mit eins ja nichts verändert. Hab ich das dann richtig verstanden?
Nur eine kleine Frage habe ich dazu noch:
Wieso schreibt man statt dem h [mm] \bruch{1}{n}? [/mm] Ist das irgendeine Regel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:05 Mo 03.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo,
> Wieso schreibt man statt dem h [mm]\bruch{1}{n}?[/mm] Ist das
> irgendeine Regel?
h soll gegen Null gehen, das kann man sozusagen "Schritt für Schritt" tun, indem man [mm] h=\frac{1}{n} [/mm] setzt und n "durchzählt" oder für n immer größere Werte einsetzt. Das läßt sich leicht durchführen. Logisch zwingend ist das nicht erforderlich, aber sehr nützlich und einfach, besonders im Zusammenhang mit der Bestimmung von Grenzwerten. In der Theorie der Folgen und Reihen (wirst du vermutlich kennenlernen) spricht man dann sehr anschaulich von einer "Nullfolge".
Für deine Neugier noch eine Bemerkung: Auf den Ausdruck (1+ [mm] \frac{1}{n})^n [/mm] stößt man völlig unabhängig von Ableitungen, wenn man stetige Verzinsung (stetiges Wachstum) untersucht.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Mo 03.08.2009 | | Autor: | shapppi |
Hallo MatheOldie
Danke nocheinmal für deine Hilfe, deine Antworten sind sehr verständlich und nachvollziehbar geschrieben. Großes Lob.
Das mit der stetigen Verzinsung haben wir schon vor 1 einhalb Jahren in der Schule im Wirtschaftsunterricht gemacht, fand ich sehr interessant, weswegen ich auch zu Mathe noch Wirtschaft als Leistungskurs habe (auch wenn mir Physik oder Chemie lieber gewesen wäre, ging aber nicht zusammen =( )
Ich würde sagen, das die Frage beantwortet ist, werde mich jetzt noch an ein paar Kurvendiskussionen von e-Funktionen beschäftigen, vielleicht habe ich ja dort noch Fragen.
MfG Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 So 16.08.2009 | | Autor: | maxiantor |
ein dank auch von mir :)
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