e-fkt. gleichseitiges dreieck < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 So 22.01.2006 | | Autor: | karpfen |
| Aufgabe | Für jedes t > 0 ist eine Funktion [mm] f_t [/mm] gegeben durch
[mm] f_t (x)=(x^2-t^2)e^{-x^2} [/mm] ;x ∈ R.
Ihr Schaubild sei Kt.
a) Untersuche [mm] K_t [/mm] auf Symmetrie, gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte sowie auf
Asymptoten.
Zeichne [mm] K_1 [/mm] für |x| ≤ 2. (LE 5cm; Querformat)
Auf welcher Kurve liegen die Hochpunkte aller [mm] K_t?
[/mm]
b) Die Tangenten in den Schnittpunkten von [mm] K_t [/mm] mit der x-Achse und die x-Achse schließen ein Dreick ein. Sein
Flächeninhalt sei A(t). Berechne A(t).
Für welches t ist A(t) maximal?
c) Zeige, dass keines der in Teilaufgabe b) beschriebenen Dreiecke gleichseitig ist. |
Mein Problem und meine Frage bezieht sich auf die Teilaufgabe c)
Zunächst meine Ergebnisse für aufgabe a und b, die in c benötigt werden
Nullstellen: x=t und x=-t
damit grundseite des Dreiecks g=2t
y= [mm] \bruch{2t}{e^(t^2)}- \bruch{2t^2}{e^(t^2)} [/mm] für die tangente durch (t|0)
y= [mm] \bruch{2t}{e^(t^2)}- \bruch{2t^2}{e^(t^2)}
[/mm]
für die andere
die höhe des dreieckes ist der y-wert des schnittpunktes der 2 tangenten
dabei ergibt sich (0|- [mm] \bruch{2t^2}{e^(t^2)} [/mm] ) also
h=- [mm] \bruch{2t^2}{e^(t^2)} [/mm]
durch einsetzten in die Formel A= [mm] \bruch{gh}{2} [/mm]
kommt man dann auf die folgende funktion
[mm] A(t)=-2t^3 e^{-t^2}
[/mm]
diese hat bei t= [mm] \bruch{ \wurzel{6}}{2} [/mm] den einzigen hochpunkt der im definitionsbereich von t liegt
kommen wir zu meiner eigentlichen frage:
in aufgabe c habe ich 2 lösungsansätze
1. Die Fläche eines gleichseitigen dreiecks berechnet man allgemein mit
A= [mm] \bruch{ \wurzel{3}}{4}a^2
[/mm]
und wir wissen, das die grundseite immer g=2t ist also müsste auch a=2t sein! eingesetzt: A= [mm] \wurzel{3} [/mm] t²
Dies müsste man mit A(t) gleichsetzten und zeigen, dass es keine lösung gibt
2. man nimmt sich eine der schenkel und stellt eine funktion zur berechnung der Länge auf und setzt sie mit 2t gleich
Eine der möglichen Funktionen wäre
L(t)= [mm] \wurzel{- \bruch{2t^2}{e^(t^2)} +t²}
[/mm]
bei beiden möglichkeiten übersteigt es aber meine fähigkeiten zu zeigen, dass es keine lösung gibt!
ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr zeigen könntet, wie ich einen meiner lösungswege zuende führen könnte oder mir einen leichteren zeigt
viel dank schonmal DerKarpfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:08 So 22.01.2006 | | Autor: | karpfen |
Danke sehr !!!ich möchte nurnoch zu meiner verteidigung sagen, dass mir die fehler alle nur beim abschreiben unterlaufen sind und ich die selbe endgleichung errechnet habe und ich dann erst vor meinem problem stand ^^
aber jetzt bin ich wieder klüger :) merci DerKarpfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:27 So 22.01.2006 | | Autor: | karpfen |
jetzt hab ich doch noch eine frage und zwar ist mir nicht 100% klar warum es ausreicht zu zeigen, dass die gebildete nebenfunktion ein positives absolutes minimum hat... (vllt weil die fkt ja dann keine nullstellen hat und daraus lässt sich ableiten, dass die gleichung auch nicht gelöst werde kann??)und ich find auch gerade nicht den weg wie du auf die letzte gleichung kommst... ich habe doch nur eine ähnliche gefunden wäre nett wenn du das noch schnell abtippen könntest!!
edit: ok die gleichung hab ich selber doch gefunden
bleibt nur die andere frage!
mfg derkarpfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 So 22.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Karpfen!
> weil die fkt ja dann keine nullstellen hat und daraus lässt
> sich ableiten, dass die gleichung auch nicht gelöst werde
> kann??
Genau die richtige Argumentation! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:12 So 22.01.2006 | | Autor: | karpfen |
Die Mathematik will irgendwie nicht, dass ich heute schlafen geh und zwar wollte ich jetzt das minimum bestimmen, leider steh ich dann wieder vor dem problem, dass ich die gleichung nicht lösen kann!
die ableitung der nebenfkt ist ja
[mm] d'(x)=2te^{t²} [/mm] - [mm] \bruch{2}{ \wurzel{3}}
[/mm]
zur berechnung der extremwerte
[mm] 0=te^{t²} [/mm] - [mm] \bruch{1}{ \wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{3}}=te^{t²}
[/mm]
und nu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 So 22.01.2006 | | Autor: | noebi |
Ich denke nicht, dass man das analytisch lösen kann. Eine Möglichkeit wäre, graphisch die Schnittpunkte zwischen [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}*t} [/mm] und [mm] e^{t²} [/mm] zu finden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 So 22.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Karpfen!
Oh je, da scheuche ich Dich mit meinem Lösungsansatz von einer Thematik in die andere ...
Um nun die Nullstelle(n) der Ableitung zu ermitteln, kannst Du auch ein Näherungsverfahren wie z.B.  Newton-Verfahren anwenden.
Gruß
Loddar
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
a.) gleicher Fehler wie oben und b.) kleiner Vorzeichenfehler:
