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Hey
ich beschäftige mich gerade mit den Beweisen der Eulerfuntkion.
Es geht insbesondere um die Funtion exp(-ix) = cos(x) - sin(x)
mein Ansatz:
Es gilt: [mm] i^2=-1 [/mm] also:
[mm] i^{2n}=(-1)^n [/mm] und [mm] i^{2n+1}=(-1)^n*i
[/mm]
Dann gilt wegen der Potenzreihenentwicklung von [mm] e^x:
[/mm]
[mm] e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}(-ix)^{k}/k!
[/mm]
aber wie kann man hier weitermachen? wäre das negative Vorzeichen nicht da, könnte ich den Bruch ja aufspalten. Aber so stehe ich am Schlauch..bitte helft mit, ich muss dies dringend für die Klausur beweisen können
LG
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Hallo,
> Hey
> ich beschäftige mich gerade mit den Beweisen der
> Eulerfuntkion.
> Es geht insbesondere um die Funtion exp(-ix) = cos(x) - sin(x)
Da fehlt doch ein i ...
[mm] $\exp(-ix)=\cos(x)-i\cdot{}\sin(x)$
[/mm]
> mein Ansatz:
>
> Es gilt: [mm]i^2=-1[/mm] also:
> [mm]i^{2n}=(-1)^n[/mm] und [mm]i^{2n+1}=(-1)^n*i[/mm]
> Dann gilt wegen der Potenzreihenentwicklung von [mm]e^x:[/mm]
> [mm]e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}(-ix)^{k}/k![/mm]
>
> aber wie kann man hier weitermachen? wäre das negative
> Vorzeichen nicht da, könnte ich den Bruch ja aufspalten.
Teile die Summe in $k$ gerade und $k$ ungerade auf.
Aus der Summe mit $k$ ungerade, kannst du ein i als Faktor vor die Summe ziehen ...
Du hast doch schon die ganze Vorarbeit geleistet ...
> Aber so stehe ich am Schlauch..bitte helft mit, ich muss
> dies dringend für die Klausur beweisen können
>
> LG
>
Gruß
schachuzipus
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also so:
[mm] =\sum_{k=0}^{\infty}(-ix)^{2k}/(2k)!+\sum{k=0}{\infty}((-ix)^{2k+1}/(2k+1)
[/mm]
[mm] =\sum_{k=0}{\infty}((-i)^{2k}*(x)^{2k})/(2k)!+\sum{k=0}{\infty}((-i)^{2k+1}*(x)^{2k+1})/(2k+1)!
[/mm]
[mm] =\sum_{k=0}{\infty}(-1)^{k}/(2k)!*(x)^{2k}+\sum_{k=0}{\infty}(i*(1)^{k}*(x)^{2k+1}/(2k+1)
[/mm]
[mm] =cos(x)-i*\sum_{k=0}{\infty}(1)^{k}*(x)^{2k+1}/(2k+1)!=cos(x)-i*sin(x)
[/mm]
richtig?
Danke schonmal 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:11 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> also so:
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> [mm]=\sum_{k=0}^{\infty}(-ix)^{2k}/(2k)!+\sum{k=0}{\infty}((-ix)^{2k+1}/(2k+1)[/mm]
>
> [mm]=\sum_{k=0}{\infty}((-i)^{2k}*(x)^{2k})/(2k)!+\sum{k=0}{\infty}((-i)^{2k+1}*(x)^{2k+1})/(2k+1)![/mm]
>
> [mm]=\sum_{k=0}{\infty}(-1)^{k}/(2k)!*(x)^{2k}+\sum_{k=0}{\infty}(i*(1)^{k}*(x)^{2k+1}/(2k+1)[/mm]
>
> [mm]=cos(x)-i*\sum_{k=0}{\infty}(1)^{k}*(x)^{2k+1}/(2k+1)!=cos(x)-i*sin(x)[/mm]
>
> richtig?
Das kann man kaum lesen und es fehlen Indizes!
> Danke schonmal
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:18 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Es gilt:
[mm] i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n [/mm] bzw. [mm] i^{2n+1}=i*i^{2n}=i(-1)^n
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{(-ix)^k}{k!}=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n}}{(2n)!}+\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}-i\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos(x)-i\sin(x)
[/mm]
DieAcht
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> Hallo,
>
>
> Es gilt:
>
> [mm]i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n[/mm] bzw. [mm]i^{2n+1}=i*i^{2n}=i(-1)^n[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm][mm] e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{(-ix)^k}{k!}=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n}}{(2n)!}+\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}-i\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos(x)-i\sin(x)
[/mm]
Wie erhälst du am Ende die [mm] (-1)^n [/mm] nach dem letztem Summenzeichen? denn [mm] (-i)^{2k} [/mm] = [mm] 1^{k} [/mm] * -i
wie kommt man dann auf -1?
tut mir leid, wenn ich hier am Schlauch stehen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Hallo,
> >
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n[/mm] bzw. [mm]i^{2n+1}=i*i^{2n}=i(-1)^n[/mm]
> >
> > Daraus folgt:
> >
> >
> [mm][mm]e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{(-ix)^k}{k!}=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n}}{(2n)!}+\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}-i\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos(x)-i\sin(x)[/mm]
> Wie erhälst du am Ende die [mm](-1)^n[/mm] nach dem letztem Summenzeichen? denn[mm](-i)^{2k}[/mm] = [mm]1^{k}[/mm] * -i
Wie kommst du denn dadrauf?
> wie kommt man dann auf -1?
Siehe oben.
[mm]i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n[/mm] bzw. [mm]i^{2n+1}=i*i^{2n}=i(-1)^n[/mm]
Oder meinst du das letzte Minuszeichen vor der Summe?
[mm] $(-ix)^{2n+1}=(-1)^{2n+1}*i^{2n+1}*x^{2n+1}=(-1)^{2n}*(-1)^{1}*i^{2n+1}*x^{2n+1}=-(i^{2n+1}*x^{2n+1})=-(i(-1)^n*x^{2n+1})
[/mm]
Dann wurde $-i$ vor die Summe gebracht.
> tut mir leid, wenn ich hier am Schlauch stehen
DieAcht
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Siehe oben.
[mm]i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n[/mm] bzw. [mm]i^{2n+1}=i*i^{2n}=i(-1)^n[/mm]
das verstehe ich. das gilt ja für [mm] i^{2k+1} [/mm] aber wieso gilt das gleiche für (-i)
Oder meinst du das letzte Minuszeichen vor der Summe?
nene. ich meine die [mm] (-1)^{n} [/mm] . denn wenn ich [mm] (-i)^{2k+1} [/mm] habe ist das doch [mm] (-i)^2 [/mm] = 1 und [mm] 1^{k} [/mm] * -i erhalte ich dann am Ende. wie kommst du denn auf (-1)
vielen lieben Dank
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Hallo rosapanther,
vielleicht ist Dir mit folgender Korrektur ja schon geholfen:
[mm] (-i)^2=i^2=-1.
[/mm]
Das ist etwas anderes als [mm] -i^2=1, [/mm] was auch stimmt.
Falsch ist jedenfalls Deine Rechnung [mm] \red{(-i)^2=1}.
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
reverend hat eigentlich alles gesagt.
Du kannst das Minuszeichen auch vorher rausziehen, falls es dir Probleme macht, etwa so:
[mm] (-a)^2=(-1)^2*a^2=1*a=a
[/mm]
Gruß
DieAcht
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vielen Dank das hilft mir
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:20 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hey
> ich beschäftige mich gerade mit den Beweisen der
> Eulerfuntkion.
> Es geht insbesondere um die Funtion exp(-ix) = cos(x) -
> sin(x)
> mein Ansatz:
>
> Es gilt: [mm]i^2=-1[/mm] also:
> [mm]i^{2n}=(-1)^n[/mm] und [mm]i^{2n+1}=(-1)^n*i[/mm]
> Dann gilt wegen der Potenzreihenentwicklung von [mm]e^x:[/mm]
> [mm]e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}(-ix)^{k}/k![/mm]
>
> aber wie kann man hier weitermachen? wäre das negative
> Vorzeichen nicht da, könnte ich den Bruch ja aufspalten.
> Aber so stehe ich am Schlauch..bitte helft mit, ich muss
> dies dringend für die Klausur beweisen können
>
> LG
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Wenn ihr das eingeführt habt, dann habt ihr bestimmt auch folgende Zusammenhänge:
[mm] \cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} [/mm] bzw. [mm] \sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} [/mm] für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
Damit gilt:
[mm] \cos(x)-i\sin(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}-i*\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}-(e^{ix}-e^{-ix})}{2}=\frac{2e^{-ix}}{2}=e^{-ix}
[/mm]
DieAcht
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