ebene Satz von Stokes,Integral < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 Do 17.01.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Eine 1 Form im [mm] \IR^2 [/mm] sei gegeben durch [mm] \omega= [/mm] x/2 dy - y/2 dx. Man berechne d [mm] \omega [/mm] und verwende das Resultat um mittels des ebenen Satzes von STokes die Berechnung von Flächeninhalten auf Kurvenintegralen zurückzuführen. man berechne das Kurvenintegrak für einen kreis und beachte dabei die orientierung. |
d [mm] \omega= [/mm] d(x,y).. 2 Form auf [mm] \IR^2
[/mm]
Ebene Satz von STokes:
Für K in [mm] \IR^k [/mm] gelte der Divergenzsatz. Sei [mm] \omega [/mm] eine stetig differenzierbare (k-1) Form auf K. Dann gilt
[mm] \int_{\partial K } \omega [/mm] = [mm] \int_K [/mm] d [mm] \omega
[/mm]
Ich verstehe nicht was zu tun ist. Würde mich freuen, wenn mich da wer aufklärt.
LG
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Für [mm]\omega = \frac{1}{2} \left( -y ~ \mathrm{d}x + x ~ \mathrm{d}y \right)[/mm] ist [mm]\mathrm{d} \omega = \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y[/mm], wie du bereits selbst festgestellt hast. Nach dem Satz von Stokes gilt daher:
[mm]\int_{K} ~ \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = \frac{1}{2} \int_{\partial K} \left( -y ~ \mathrm{d}x + x ~ \mathrm{d}y \right)[/mm]
Jetzt nimm für [mm]K[/mm] speziell die abgeschlossene Einheitskreisscheibe. Die linke Seite der Gleichung zeigt, daß du den Flächeninhalt von K berechnest, wenn du das Kurvenintegral auf der rechten Seite berechnest. Dann tu das jetzt.
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