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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Di 26.09.2006 | | Autor: | Kulli |
und wieder eine frage von mir, hoffe das nervt nicht :-/
alsooo ich möchte überprüfen, ob eine gerade g in der ebene e liegt..
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-7 \\ 11 \\ 15} [/mm] + [mm] t*\vektor{8 \\ 2 \\ 10}
[/mm]
und
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 9 \\ 2} [/mm] + [mm] r*\vektor{4 \\ 1 \\ 5} [/mm] + [mm] s*\vektor{6 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
so... dazu hab ich mir überlegt, überprüfe ichzuerst ob der punkt A (-7|11|15) in der Ebene E liegt.
also:
[mm] \vektor{-7 \\ 11 \\ 15} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 9 \\ 2} [/mm] + [mm] r*\vektor{4 \\ 1 \\ 5} [/mm] + [mm] s*\vektor{6 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
daraus folgt:
r= 2 und s= -3
Punkt A liegt also in der Ebene E.
Danach muss man ja noch gucken, ob die richtungsvektoren überhaupt in einer ebene liegen.
nur da ist jetzt zb mein problem ob ich deshalb auf lin. abhängigkeit oder unabhängigkeit prüfen soll. Denn als wir die allgemeine gleichung für die ebene aufgestellt haben, nämlich ja
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{p} [/mm] + [mm] r*\vec{u} [/mm] + [mm] s*\vec{v}
[/mm]
haben wir aufgeschrieben, dass [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] linear unabhängig sein müssen. aber wenn man zb auf basen prüft, die ja einen raum aufspannen, da müssen 3 vektoren ja auch unabhängig sein, da sie sonst halt in einer ebene liegen und abhängig sind....
also müsste ich hier doch eigentlich überprüfen ob die 3 richtungsvektoren abhängig sind und somit in einer ebene liegen... aber dann versteh ich nicht wieso bei der allgemeinen gleichung [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] linear unabhängig sein müssen..
und eine frage habe ich noch:
wenn ich die punkte A(2|7), B(1|4) und C(-2|5) habe und eine geradengleichung aufstelle, ist die reihenfolge in der ich die punkte benutze, ja egal.
also ich kann die geradengleichung
g1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 7} [/mm] + [mm] t*\vektor{-1 \\ -3} [/mm] (also A als stützvektor und [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] als richtungsvektor)
oder g2: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 4} [/mm] + t* [mm] \vektor{-4 \\ -2} [/mm] (B als stützvektor und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] als richtungsvektor)
oder irgendeine andere gleichung benutzen.
ist das wenn ich eine ebene durch mehrere punkte habe z.B.
A [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
B [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]
C [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
und D [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] auch egal welche vektoren ich als stütz- bzw richtungsvektoren nehme? also wenn ich zb A als stützvektoren nehme, dass ich AB und AD als richtungsvektoren nehme
oooooder B als stütz- und BA und BC als richtungsvektoren?
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Hallochen,
du hast überprüft, ob [mm]A\in E[/mm]. Super! Jetzt frage dich doch mal, wie eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen können. Sie schneiden sich, dann gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Sie sind parallel, haben also keinen gemeinsamen Punkt. Das kann aber schon nicht sein. Gilt aber [mm]g\in E[/mm], dann müssen sie einfach zwei Punkte gemeinsam haben. Es ist eine Leichtigkeit einen zweiten Punkt zu finden. Z.B. könntest du schauen, ob
$ [mm] \vektor{-7 \\ 11 \\ 15} [/mm] $ + $ [mm] 1\cdot{}\vektor{8 \\ 2 \\ 10} $=\vektor{1 \\ 13 \\ 25} [/mm]
in der Ebene liegt. Andererseits könntest du dir mal scharf die Richtungsvektoren anschauen. Der Richtungsvektor der Gerade ist nämlich zu einem der Ebene kollinear, denn
$ [mm] 2\cdot{}\vektor{4 \\ 1 \\ 5} [/mm] $=$ [mm] \vektor{8 \\ 2 \\ 10} [/mm] $.
Also liegt die Gerade in der Ebene.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Di 26.09.2006 | | Autor: | Kulli |
ja gut, danke erstmal.
ok so gehts auch...
aber wie müsste ich das denn mit lin. abhängig bzw unabhängig gehen. was muss ich da prüfen? damit müsste es doch auch gehen oder nciht?
und weißt du oder sonst irgendwer auch die antwort auf die 2 frage?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Di 26.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn ich Ebene mir den Punkten A, B und C berechnen will, ist es tatsächlich egal, welchen Punkt ich als Stützpunkt nehme.
Wichtig ist nur, dass die Richtungsvektoren von dem Punkt aus ausghen.
Also berschreiben folgende drei Darstellungen dieselbe Ebene:
[mm] \vec{x}=\vec{a}+\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vec{b}+\zeta\overrightarrow{BA}+\nu\overrightarrow{BC}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vec{c}+\eta\overrightarrow{CB}+\kappa\overrightarrow{CA}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Di 26.09.2006 | | Autor: | Kulli |
okay das is schonmal beruhigend zu wissen, danke :)
ich hab noch ne möglichkeit gefunden wie ich meine 1 frage vll anders stellen kann.
also...
für eine basis, die einen raum aufspannt, brauche ich 3 unabhängige vektoren. richtig?
für eine ebene brauche ich aber ja dann 3 abhängige vektoren, da diese dann in einer ebene also zb wie auf einer tischplatte liegen. hab ich das richtig?
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Koordinatenebenen.png/654px-Koordinatenebenen.png
hier zb sind ja die 3 ebenen eingezeichnet, und keine ahnugn wie man das nennt, aber 3dimensionale ebenen kanns doch eig. dann nicht geben, weil sie dann ja wieder einen raum aufspannen.....
also ich habs so verstanden dass ne basis ein raumi st und eine ebene eine fläche.. also praktisch die gegenteile...
ist das richtig?????? :-/
und dann müssten ja bei der allgemeinen gleichung die vektoren u und v unabhängig untereinander sein, weil sie sonst ja z.b. parallel liegen und keine ebene haben..... aber vektoren überhaupt müssen, um auf einer ebene zu liegen abhängig sein?
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Hallo Kulli,
du hast recht, dass 3 unabhängige Vektoren eine Basis bilden und einen Raum aufspannen. Dass sie linear unabhängig sind, heißt im Prinzip, dass sie alle in eine andere Richtung zeigen. Wenn wir aber 2 Vektoren betrachten, dann sind diese linear abhängig, wenn sie in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen, ansonsten sind sie linear unabhängig. Um eine Ebene aufzuspannen, benötigt man also 2 linear unabhängige Vektoren, ansonsten würde es ja eine Gerade werden.
Der Unterschied liegt darin, dass es auf die Menge der Vektoren ankommt, um die lineare (Un-)Abhängigkeit zu betrachten. Nehmen wir z.B. 4 Vektoren im dreidimensionalen Raum, so müssen diese linear abhängig sein. Ich hoffe, du verstehst ein wenig, was ich meine, und es hilft dir weiter.
Mit freundlichen Grüßen,
Manuela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Di 26.09.2006 | | Autor: | Kulli |
ja, klar, danke!
es hat mich auch nur kurz verwirrt dass um auf ebenen zu prüfen die 3 vektoren untereinander abhängig sein müssen, die 2 vektoren für die gleichugn aber unabhängig.. aber jetzt ist alles klar, danke! 
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