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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - eigenschwingung
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eigenschwingung: Tipp,Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:25 Fr 17.01.2020
Autor: djanselo

Hallo :)

Ich möchte gerne die eindimensionale Wellengleichung mit den  folgenden AW und RW lösen.
AW:
$y(x,0)=h(x)\ [mm] \text{und}\ \frac{\partial}{\partial t} [/mm] y(x,0)=0 $
RW:
$ [mm] y(-\pi,t)=0\ \text{und}\ y(\pi,t)=0$ [/mm]

Ich mache das jetzt mit Separartionsansatz mit $y(x,t)=X(x)T(t)$ und dann habe ich
zwei verschiedene Lösungen raus:

$ [mm] y_1(x,t)=X_1(x)T_1(t)=c_1\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right)\left(c_5\cos\left(\frac{2k+1}{2}ct\right)+c_6\sin\left(\frac{2k+1}{2}ct\right)\right)\ [/mm] $ für alle $  k [mm] \in \mathbb{N}_0$ [/mm] und

$ [mm] y_2(x,t)=X_2(x)T_2(t)=c_2\sin\left(kx\right)\left(c_3\cos\left(kct\right)+ c_4 \sin\left( kct \right) \right) [/mm] $

für alle $k [mm] \in \mathbb{N}_0$. [/mm]
Nun definiere  ich die konstanten neu [mm] $A:=c_1\cdot c_5\ [/mm] B:= [mm] c_1\cdot c_6\ A':=c_2 \cdot c_3\ B':=c_2 \cdot c_4$ [/mm]

Des weiteren kann ich ja diese beiden Lösungen $ [mm] y_1(x,t)$ [/mm] und $ [mm] y_2(x,t)$vereinfachen,indem [/mm] ich den AW [mm] $\frac{\partial}{\partial t} [/mm] y(x,0)=0 $

dann erhalte ich

$ [mm] y_1(x,t)=A\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right)\cos\left(\frac{2k+1}{2}ct\right)$ [/mm] für alle $ k [mm] \in \mathbb{N}_0$und [/mm]

[mm] $y_2(x,t)=A'\sin\left(kx\right)\cos\left(kct\right)$für [/mm] alle$ k [mm] \in \mathbb{N}_0$ [/mm] .

Ich möchte jetzt $5$ Lösungen zum Zeitpunkt $t=0$bestimmen. Das heißt,ja dass ich die x abhängingen Teile bekomme

$ [mm] X_1(x)=A_1cos\left(\frac{x}{2}\right)$ [/mm] für $k=0$
[mm] $X_2(x)=A'_2\sin\left(x \right)$ [/mm] für $k=1$
$ [mm] X_3(x)=A_3cos\left(\frac{3x}{2}\right)$für [/mm] $k=1$
[mm] $X_4(x)=A'_4\sin\left(2x \right)$ [/mm] für $k=2$
$ [mm] X_5(x)=A_5cos\left(\frac{5x}{2}\right)$ [/mm] für $k=2$

Jetzt soll ich diese Lösungen in einer Skizze $f(x)$ darstellen. Also

$f(x) [mm] \approx A_1\cos\left(\frac{x}{2}\right)+A'_2\sin\left(x \right)+A_3\cos\left(\frac{3x}{2}\right)+A'_4\sin\left(2x \right)+A_5\cos\left(\frac{5x}{2}\right)$ [/mm]

Kann ich $f(x)$ so skizzieren?? und wie bekommen ich die $ [mm] A_1,A'_2,A_3,A'_4,A_5$ [/mm] ?? Sind das meine Fourierkoeffizienten,die ich mit der $ y(x,0)=h(x)$bekomme?

Ich hab ein mega Problem,ich weiss einfach nicht,ob meine f(x) so richtig ist und wie ich die Konstaten [mm] $A_1,A'_2,A_3,A'_4,A_5$ [/mm] in meinen Plot einbauen kann....Hifle bitte!


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=594153

        
Bezug
eigenschwingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Sa 18.01.2020
Autor: leduart

Hallo
solange man h(x) nicht kennt, kennt man auch die [mm] A_i [/mm] nicht. also musst du h(x)  als summe von sin und cos Termen haben oder annähern  und ja das sind die entsprechenden Fourriekoeffizienten.
Gruß leduart

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eigenschwingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Sa 18.01.2020
Autor: djanselo

was meinst du jetzt damit konkret?

also wie würden dann die koeffizienten in meinem $f(x) [mm] \approx [/mm] $ aussehen?

liebe grüße

Bezug
                        
Bezug
eigenschwingung: Auslenkung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Sa 18.01.2020
Autor: Infinit

Hallo djanselo,
Deine Funktion h(x) beschreibt doch die Auslenkung der Schwingung an der Stelle x. Diese Funktion muss bekannt sein, denn Du musst sie als eine Fourierreihe darstellen. Der Koeffizientenvergleich dieser Fourierreihe mit den Koeffizienten Deiner DGL-Lösung ergibt dann die von Dir gesuchten Koeffizienten. Wie leduart schon sagte: h(x) muss bekannt sein.
Viele Grüße,
Infinit

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Bezug
eigenschwingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 So 19.01.2020
Autor: djanselo

Hey ich hab nochmal ne Frage,

ich wollte die Funktion f(x) durch trigonomerische polynome approxieren.

ich hab ja durch  $ [mm] X_1(x)=A_1cos\left(\frac{x}{2}\right) [/mm] $ für k=0
$ [mm] X_2(x)=A'_2\sin\left(x \right) [/mm] $ für k=1
$ [mm] X_3(x)=A_3cos\left(\frac{3x}{2}\right) [/mm] $für k=1
$ [mm] X_4(x)=A'_4\sin\left(2x \right) [/mm] $ für k=2
$ [mm] X_5(x)=A_5cos\left(\frac{5x}{2}\right) [/mm] $ für k=2

die  jeweilgien Eigenschwingung, dabei ist $k=0 $die Grundschwingung und alles andere sind Obertöne.


Kann man jetzt sagen,dass man die allgemeine Lösung von der wellengleichung $ y(x,t) $ erhält,indem man die einzelnen Lösungen der beiden Lösungen als Linearkombination zusammenfasst(Superpositioneigenschaft)?

[mm] $\sum_{j=1}^{n}y_{1j}(x,t)&=\sum_{j=1}^{n}a_j\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right)\cos\left(\frac{2k+1}{2}ct\right)\\ [/mm]
[mm] \sum_{j=1}^{n}y_{2j}(x,t)&=\sum_{j=1}^{n}\widetilde{a_j}\sin\left(kx\right)\cos\left(kct\right)$. [/mm]
1.ich bin mir mega unsicher beim lauf index,kann mir vielleicht jmd sagen,wie ich die indizies korrekt mache der beiden loesungen [mm] $y_1(x,t)$ [/mm] und [mm] $y_2(x,t), [/mm] $da ich keinen plan hab,wie man das korrekt fuer die [mm] $k\in \mathbb{N}_0$ [/mm] aufschreibt?
2.Dann bekomme ich ja die Koeffzienten,indem ich die zweite Anfangsbedingung benutze und meine Koeffzienten,sind dann die Fourierkoeffizienten

geht das so?

Bezug
                                        
Bezug
eigenschwingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Mo 20.01.2020
Autor: leduart

Hallo
du gehst auf die antworten nicht ein. Da steht, ohne h(x) zu kennen, also den Zustand zur Zeit x=0 kannst du die [mm] A_i [/mm] nicht bestimmen. Das einzige was wir über h(x) wissen, dass es 0 ist an den 2 Enden. Du solltest es aber kennen. Wenn du es kennst steht da schon 2 mal wie du die Koeffizienten findest.
und was ist jetzt f(x) und was verstehst du unter "trigonomerische polynome"
deine Lösung ist doch eine stehende Welle, wie soll die an verschiedenen Stellen mit verschiedenen Frequenzen schwingen?
Gruß ledum

Bezug
                                                
Bezug
eigenschwingung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:22 Do 23.01.2020
Autor: djanselo

Hi,

ja,sorry ja die Fourierkoeffizienten bekomme ich mit der zweite Randbedingung $u(x,0)=f(x)$.

Jedoch habe ich noch ein weiters Problem.

Ich hab ja die Wellengleichung,dann wollte ich diese mittels Separationsansatz lösen und habe,nach Begründung,die Separationskonstante [mm] $\alpha$ [/mm] eingeführt.
Die Ortsgleichung wollte ich dann mit exponentialansatz lösen und erhalte [mm] $\lambda_{1,2}=\pm \sqrt{\alpha}$ [/mm] .Dann bekomme ich für
[mm] $\lambda [/mm] >0$ und [mm] $\lambda [/mm] =0$ nur triviale Lösungen raus.
Aber für [mm] $\alpha<0$ [/mm] sind meine beiden [mm] $\lambda_{1,2}$ [/mm] imaginär.
Ich definiere mir dann [mm] $\alpha=-\beta$. [/mm]
Die allgemeine Lösung für die imaginären nullstellen ist dann
[mm] $X(x)=c_1\cdot \cos(\sqrt{\beta}x)+c_2\cdot \sin(\sqrt{\beta}x)$ [/mm]
Ich hab ja die Randbedingungen [mm] $y(-\pi,t)=y(\pi,t)=0$ [/mm]
Das heißt,ja
[mm] $X(\pi)=c_1\cdot \cos(\sqrt{\beta}\pi)+c_2\cdot \sin(\sqrt{\beta}\pi)=0$. [/mm]
Falls ich nicht die trivialen Lösungen haben möchte,ist ja eine möglichkeit
1.Fall  [mm] $c_1=0$ [/mm] ,dann muss ja [mm] $c_2 \neq [/mm] 0$ sein,das heißt ja dann

[mm] \sin(\sqrt{\beta}\pi)=0, [/mm] das gilt ja

[mm] $\sqrt{\beta}\pi=n\pi \Leftrightarrow \beta [/mm] = [mm] n^2 [/mm] $ für alle $n [mm] \in \mathbb{N}_0$ [/mm]  

Das heißt $X(x)= [mm] c_1 \sin(\sqrt{\beta}\pi).$ [/mm]

2. Fall [mm] $c_2=0$,dann [/mm] muss ja [mm] $c_1 \neq [/mm] 0$ sein,das heißt ja dann

[mm] $X(\pi)=\cos(\sqrt{\beta}\pi)=0.$ [/mm]
Dann muss ja [mm] $\sqrt{\beta}\pi=\frac{2n+1}{2} \pi.$Ist [/mm] genau dann wenn
[mm] $\beta=\left(\frac{2n+1}{2}\right)^2$ [/mm] für alle  $k [mm] \in \mathbb{N}_0$ [/mm]

also [mm] $X(x)=c_2\cos(\sqrt{\beta}\pi)$. [/mm]

Die Lösung der Zeitgleichungen ist

1.Fall [mm] $T(t)=c_3\cos(kct)+c_4\sin(kct)$ [/mm]
2.Fall [mm] $T(t)=c_5\cos\left(\frac{2n+1}{2}ct \right)+c_6\sin\left(\frac{2n+1}{2}ct\right)$ [/mm]

Das heißt ich erhalt für [mm] X(x)\cdot [/mm] T(t)
1.Fall [mm] $c_1 \sin(nx)c_3\cos(kct)+c_4\sin(kct)$ [/mm]
2.Fall   [mm] $c_2\cos(\frac{2n+1}{2}x)c_5\cos\left(\frac{2n+1}{2}ct \right)+c_6\sin\left(\frac{2n+1}{2}ct\right)$ [/mm]

definiere ich die konstante um $ [mm] a_n:=c_1\cdot c_3\ b_n:= c_1\cdot c_4\ a'_n:=c_2 \cdot c_5\ b_n':=c_2 \cdot c_6 [/mm] $

1.Fall $ [mm] \sin(nx)a_n \cos(kct)+b_n \sin(kct)$ [/mm]
2.Fall   [mm] $\cos(\frac{2n+1}{2}x) a'_n\cos\left(\frac{2n+1}{2}ct \right)+b'_n\sin\left(\frac{2n+1}{2}ct\right)$ [/mm]
Setzt ich die erste Anfangsbedingung [mm] $\frac{\partial}{\partial t} [/mm] y(x,0)=0 $ein,erhalte ich jeweils
1.Fall $ [mm] \sin(nx)a_n \cos(kct)$ [/mm]
2.Fall   [mm] $\cos(\frac{2n+1}{2}x) a'_n\cos\left(\frac{2n+1}{2}ct \right)$ [/mm]

Das heißt für $n=0$  und $t=0$ erhält man

[mm] $X_1(x)= \cos(\frac{1}{2}x) [/mm]
für $n=1$  und $t=0$

[mm] $X_2(x)=\sin(x)$ [/mm]
[mm] $X_3(x)=\cos(\frac{3}{2}x)$ [/mm]
für $n=2$  und $t=0$

[mm] $X_4(x)=\sin(2x)$ [/mm]
[mm] $X_5(x)=\cos(\frac{5}{2}x)$ [/mm]

Kann ich nun sagen,dass die allgemeine Lösung die folgende Gestalt hat?

[mm] $\sum_{n=0}^{k} \sin(nx)a_n \cos(kct)+\cos\left(\frac{2n+1}{2}x\right) a'_n\cos\left(\frac{2n+1}{2}ct \right)$ [/mm]







Bezug
                                                        
Bezug
eigenschwingung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Sa 25.01.2020
Autor: matux

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