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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:29 Di 21.08.2007 | | Autor: | walli74 |
Hallo leute, ich hab da so meine schwierigkeiten die eigenvektoren dieser matrix zu bestimmen
-4 -3 3
2 3 -6
-1 -3 0
Folgendes polynom hab ich errechnet
[mm] -x^3-x^2+21x+45 [/mm]
Nach polynomdivision mit -5 hab ich dann als ersten eigenwert 5
und dann noch doppelte nullstelle bei -3 ob das richtig ??? da bin ich mir aber nicht sicher ???
Aber bei der berechnung der eigenvektoren scheiter ich.
Wenn ich das gleichungssystem runterrechne zb. für die 5
Bekomme ich am ende in der letzten zeile 6/9r3=0
somit wäre r3 =0 setze ich das nun ein und versuche die anderen komponenten auszurechnen dann erfüllt nur der nullvektor die gleichung.
Also gerechnet hab ich folgendes
-9r1-3r2+3r3=0 |*2/9 |*8-1/9)
2r1-2r2- 6r3=0 < |
-1r1-3r2- 5r3=0 <
--------------------
-9r1-3r2+3r3=0
0-24/9r2-48/9r3=0 |*(-1)
0-24/9r2- 42/9r3=0 <
-----------------------
-9r1-3r2+3r3 =0
0-24/9r2-48/9r3 =0
0+0+6/9r3 =0
was mache ich falsch ???
Und noch eine frage bekomme ich dann nur 2 eigenvektoren raus da ich ja eine doppelte nullstelle bei -3 habe ???
Ich hoffe mir kann hier jemand helfen und erklären wie ich die richtigen eigenwerte und vektoren herausbekomme ????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo walli,
Das char. Polynom und die Eigenwerte stimmen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Deine Rechnung für den Eigenwert [mm] \lambda_1=5 [/mm] sieht wüst aus so ganz ohne Formeleditor 
Ein Rechenfehler hat sich im mittleren Block eingeschlichen, da kommt in der untersten Gleichung ganz rechts statt [mm] -\frac{42}{9}r_3 [/mm] dies hin: [mm] -\frac{\red{48}}{9}r_3 [/mm] rechne nochmal nach...
Ich schlage eine übersichtlichere Matrixvariante vor (und vor allem ganzzahlige Rechnungen!!), wenn du erlaubst:
Zu bestimmen ist der Eigenraum zu [mm] \lambda_1=5, [/mm] also der [mm] $Kern(A-5\cdot{}\mathbb{E}_3)$, [/mm]
wobei [mm] $A=\pmat{ -4 & -3&3 \\ 2 & 3&-6\\-1 & -3&0 }$
[/mm]
Also [mm] A-5\cdot{}\mathbb{E}_3=\pmat{ -9 & -3&3 \\ 2 & -2&-6\\-1 & -3& -5 }
[/mm]
Das bringen wir nun mittels elementarer Zeilenumformungen in ZSF
Dazu addieren wir das 2-fache der 3.Zeile zur 2.Zeile und die 1.Zeile zum (-9)-fachen der 3.Zeile
Das gibt: [mm] \pmat{ -9 & -3&3 \\ 0 & -8&-16\\0 & 24&48 }
[/mm]
Nun 1.Zeile [mm] \cdot{}\left(-\frac{1}{3}\right), [/mm] 2.Zeile [mm] \cdot{}\left(-\frac{1}{8}\right) [/mm] und 3.Zeile [mm] \cdot{}\frac{1}{24}
[/mm]
Das gibt [mm] \pmat{ 3 & 1&-1 \\ 0 & 1&2\\0 & 1&2 }
[/mm]
So und das gibt in der 3.Zeile eine Nullzeile, also hast du eine freie Variable,
nehmen wir zB [mm] x_3=t [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Dann ist mit Zeile 2: [mm] x_2=-2t [/mm] und mit Zeile 1: [mm] 3x_1=-x_2+x_3=2t+t=3t, [/mm] also [mm] x_1=t
[/mm]
Das heißt : Ein Vektor aus dem [mm] Kern(A-5\mathbb{E}_3) [/mm] ist von der Gestalt [mm] \vektor{t\\-2t\\t}
[/mm]
Der Eigenraum zu [mm] \lambda_1=5 [/mm] ist also [mm] \langle\vektor{1\\-2\\1}\rangle [/mm] , hat also dim=1
Für t=1 hat man also zB den Eigenvektor [mm] v=\vektor{1\\-2\\1} [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda_1=5
[/mm]
=========================================================
Für den Eigenwert [mm] \lambda=-3 [/mm] erhältst du für die Umformung von [mm] A+3\cdot{}\mathbb{E}_3 [/mm] zwei Nullzeilen:
...=....= [mm] \pmat{ 1 & 3&-3 \\ 0& 0&0\\0 & 0&0 }
[/mm]
Also 2 freie Variablen [mm] x_3=t [/mm] und [mm] x_2=s [/mm] mit [mm] s,t\in\IR
[/mm]
Mit Zeile 1 dann [mm] x_1=-3s+3t
[/mm]
Also ein Vektor aus dem Kern ist von der Gestalt [mm] \vektor{-3s+3t\\s\\t}=s\cdot{}\vektor{-3\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{3\\0\\1}
[/mm]
Also ist der Eigenraum [mm] \langle\vektor{-3\\1\\0},\vektor{3\\0\\1}\rangle
[/mm]
Dh. 2dimensional, l.u. Eigenvektoren sind zB für s=t=1:
[mm] w_1=\vektor{-3\\1\\0} [/mm] und [mm] w_2=\vektor{3\\0\\1}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Di 21.08.2007 | | Autor: | walli74 |
Ja ich weiss sieht ein wenig wüst aus mein posting, muss mich erstmal mit der formeleingabe anfreunden
Aber danke dir für die ausführliche erklärung, jetzt hats bei mir klick gemacht !!!
vielen dank
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