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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:30 Sa 28.05.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Helfenden!
Meine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die folgenden Definitionen für "einfach zusammenhängend" äquivalent sind.
Anmerkung: [mm] U\subseteq \IR^n [/mm] soll hierbei immer Gebiet sein.
(1) Es existiert ein Punkt [mm] x_0\in [/mm] U, sodass jede geschlossene stetige Kurve in U mit Anfangs- und Endpunkt [mm] x_0 [/mm] nullhomotop ist.
(2) Jede geschlossene stetige Kurve in U ist nullhomotop in U.
(3) Jede geschlossene stetige Kurve in U ist frei nullhomotop in U. |
Kann mir bitte jemand helfen, die Äquivalenz der Definitionen zu zeigen? Denn ich bekomme es alleine nicht hin.
[mm] (1)\Rightarrow (2) [/mm]:
Bei Forster steht zu diesem Schritt:
"Man kann zeigen, dass dann auch jede geschlossene Kurve in U mit einem anderen Anfangs- und Endpunkt [mm] p_1\in [/mm] U nullhomotop ist."
Hm...
Was ich weiß ist, dass U wegzusammenhängend ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Sa 28.05.2011 | | Autor: | dennis2 |
Bitte korrigiert mich, wenns Blödsinn ist!
Angenommen, Du hast eine beliebige geschlossene stetige Kurve in U mit Anfangs- und Endpunkt [mm] p_1.
[/mm]
Dann kannst Du (U ist wegzusammenhängend) [mm] p_0 [/mm] und [mm] p_1 [/mm] verbinden und eine geschlossene stetige Kurve mit Anfangs- und Endpunkt [mm] p_0 [/mm] durch [mm] p_1 [/mm] legen.
Dann wird [mm] p_1 [/mm] - als ein Punkt, der auf der Kurve liegt - wie alle anderen Punkte auf der Kurve zu [mm] p_0 [/mm] zusammengezogen und dann ist auch die Kurve mit Anfangs- und Endpunkt [mm] p_1 [/mm] nullhomotop, denn es sind ja nach Voraussetzung alle geschlossenen stetigen Kurven mit Anfangs- und Endpunkt [mm] p_0 [/mm] nullhomotop.
Ist vielleicht etwas wirr ausgedrückt.
Ich hoffe aber, das ist korrekt.
Wie gesagt: Es ist nur eine Idee von mir, ich bin selbst kein Ass.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:28 Sa 28.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke, aber woher weiß ich nun, ob das okay ist oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Mo 30.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 30.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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